Окружающий мир, начиная с мельчайших невидимых частиц, и заканчивая далекими галактиками бескрайнего космоса, таит в себе много неразгаданных тайн. Однако над некоторыми из них уже приподнята завеса таинственности благодаря пытливым умам ряда ученых.
Одним из таких примеров является «золотое сечение» и числа Фибоначчи , составляющие его основу. Данная закономерность получила отображение в математическом виде и часто встречается в окружающей человека природе, еще раз исключая вероятность того, что она возникла в результате случая.
Числа Фибоначчи и их последовательность
Последовательностью чисел Фибоначчи называется ряд чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …
Особенностью этой последовательности являются числовые значения, которые получаются вследствие деления чисел этого ряда друг на друга.
Ряд чисел Фибоначчи имеет свои интересные закономерности:
- В ряду чисел Фибоначчи, каждое число разделенное на следующее будет показывать значение, стремящееся к 0,618 . Чем дальше числа от начала ряда, тем точнее будет соотношение. К примеру, цифры взятые в начале ряда 5 и 8 будут показывать 0,625 (5/8=0,625 ). Если же взять числа 144 и 233 , то они покажут соотношение 0.618 .
- В свою очередь, если в ряду чисел Фибоначчи разделить число на предыдущее, то результат деления будет стремится к 1,618 . Для примера использованы те же цифры, что оговаривались выше: 8/5=1,6 и 233/144=1,618 .
- Число поделенное на следующее за ним через одно, будет показывать значение, приближающееся к 0,382 . И чем дальше от начала ряда взяты цифры, тем точнее значение соотношения: 5/13=0,385 и 144/377=0,382 . Деление цифр в обратном порядке будет давать результат 2,618 : 13/5=2,6 и 377/144=2,618 .
Используя вышеописанные методы расчета и увеличивая промежутки между цифрами можно вывести следующий ряд значений: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, который широко применяется в инструментах Фибоначчи на рынке форекс.
Золотое сечение или Божественная пропорция
Очень наглядно представляет «золотое сечение» и числа Фибоначчи аналогия с отрезком. Если отрезок АВ разделить точкой С в таком соотношении, чтобы соблюдалось условие:
АС/ВС=ВС/АВ, тогда это будет «золотое сечение»
ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ СЛЕДУЮЩИЕ СТАТЬИ:
Удивительно, но именно это соотношение прослеживается в ряду чисел Фибоначчи. Взяв несколько цифр из ряда, можно расчетом проверить, что это так. Например, такая последовательность чисел Фибоначчи …55, 89, 144 … Пусть число 144 является целым отрезком АВ, о котором упоминалось выше. Поскольку 144 является суммой двух предыдущих чисел, то 55+89=АС+ВС=144.
Деление отрезков покажет следующие результаты:
АС/ВС=55/89=0,618
ВС/АВ=89/144=0,618
Если принять отрезок АВ за целое, или за единицу, то АС=55 будет составлять 0,382 от этого целого, а ВС=89 будет равным 0,618.
Где встречаются числа Фибоначчи
Закономерную последовательность чисел Фибоначчи знали греки и египтяне еще задолго до самого Леонардо Фибоначчи. Такое название этот числовой ряд приобрел после того, как знаменитый математик обеспечил широкое распространение этого математического феномена в ученых рядах.
Важно отметить, что золотые числа Фибоначчи являются не просто наукой, а математическим отображением окружающего мира. Множество природных явлений, представителей растительного и животного мира имеет в своих пропорциях «золотое сечение». Это и спиралевидные завитки раковины, и расположение семян подсолнуха, кактусы, ананасы.
Спираль, пропорции ответвлений которой подчинены закономерностям «золотого сечения», лежит в основе образования урагана, плетения паутины пауком, формы многих галактик, переплетения молекул ДНК и множества других явлений.
Длина хвоста ящерицы к ее туловищу имеет соотношение 62 к 38. Отросток цикория, перед тем как выпустить листок, делает выброс. После того, как первый лист выпущен, происходит второй выброс перед выпуском второго листа, по силе равный 0,62 от условно принятой единицы силы первого выброса. Третий выброс равен 0,38, а четвертый - 0,24.
Для трейдера также большое значение имеет тот факт, что движение цены на рынке форекс часто подчинено закономерности золотых чисел Фибоначчи. На основе этой последовательность создан целый ряд инструментов, которые трейдер может использовать в своем арсенале
Часто используемый трейдерами инструмент « » может с высокой точностью показывать цели движения цены, а также уровни ее коррекции.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВЫСШЕЕ НАЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ НАХОДИТЬ СКРЫТЫЙ ПОРЯДОК В ХАОСЕ, КОТОРЫЙ НАС ОКРУЖАЕТ.
Винер Н.
Человек всю жизнь стремится к знаниям, пытается изучить окружающий его мир. И в процессе наблюдений у него возникают вопросы, на которые требуется найти ответы. Ответы находятся, но появляются новые вопросы. В археологических находках, в следах цивилизации, отдаленных друг от друга во времени и в пространстве, встречается один и тот же элемент - узор в виде спирали. Некоторые считают его символом солнца и связывают с легендарной Атлантидой, но истинное его значение неизвестно. Что общего между формами галактики и атмосферного циклона, расположением листьев на стебле и семян в подсолнухе? Эти закономерности сводятся к так называемой «золотой» спирали, удивительной последовательности Фибоначчи, открытой великим итальянским математиком XIII века.
История возникновения чисел Фибоначчи
Впервые о том, что такое числа Фибоначчи, я услышал от учителя математики. Но, кроме того, каким образом складывается последовательность этих чисел, я не знал. Вот чем на самом деле знаменита эта последовательность, каким образом она влияет на человека, я и хочу вам рассказать. О Леонардо Фибоначчи известно немного. Нет даже точной даты его рождения. Известно, что он родился в 1170 году в семье купца, в городе Пизе в Италии. Отец Фибоначчи часто бывал в Алжире по торговым делам, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Впоследствии он написал несколько математических трудов, наиболее известным из которых является «Книга об абаке», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени. 2
Числа Фибоначчи - это последовательность чисел, обладающая рядом свойств. Эту числовую последовательность Фибоначчи открыл случайно, когда пытался в 1202 году решить практическую задачу о кроликах. «Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения». При решении задачи он учел, что каждая пара кроликов порождает на протяжении жизни еще две пары, а затем погибает. Так появилась последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … В этой последовательности каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Её назвали последовательностью Фибоначчи. Математические свойства последовательности
Мне захотелось исследовать эту последовательность, и я выявил некоторые её свойства. Эта закономерность имеет большое значение. Последовательность все медленнее приближается к некоему постоянному отношению, равному примерно 1, 618, а отношение любого числа к последующему примерно равно 0, 618.
Можно заметить ряд любопытных свойств чисел Фибоначчи: два соседних числа взаимно просты; каждое третье число четно; каждое пятнадцатое оканчивается нулем; каждое четвертое кратно трем. Если выбрать любые 10 соседних чисел из последовательности Фибоначчи и сложить их вместе, всегда получится число, кратное 11. Но это еще не все. Каждая сумма равна числу 11, умноженному на седьмой член взятой последовательности. А вот еще одна любопытная особенность. Для любого n сумма первыхn членов последовательности всегда будет равна разности (n+ 2) - го и первого члена последовательности. Этот факт можно выразить формулой: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Теперь в нашем распоряжении имеется следующий трюк: чтобы найти сумму всех членов
последовательности между двумя данными членами, достаточно найти разность соответствующих (n+2)-x членов. Например, a 26 +…+a 40 =a 42 - a 27 . Теперь поищем связь между Фибоначчи, Пифагором и «золотым сечением». Самым известным свидетельством математического гения человечества является теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов: c 2 =b 2 +a 2 . С геометрической точки зрения мы можем рассматривать все стороны прямоугольного треугольника, как стороны трех построенных на них квадратов. Теорема Пифагора говорит о том, что общая площадь квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Если длины сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то они образуют группу из трех чисел, называемых пифагоровыми тройками. С помощью последовательности Фибоначчи можно отыскать такие тройки. Возьмем любые четыре последовательные числа из последовательности, например, 2, 3, 5 и 8, и построим еще три числа следующим образом:1) произведение двух крайних чисел: 2*8=16;2) удвоенное произведение двух чисел в середине: 2*(3*5)=30;3) сумма квадратов двух средних чисел: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2 . Этот метод работает для любых четырех последовательных чисел Фибоначчи. Предсказуемым образом ведут себя любые три последовательных числа ряда Фибоначчи. Если перемножить из них два крайних и результат сравнить с квадратом среднего числа, то результат всегда будет отличаться на единицу. Например, для чисел 5, 8 и 13 получим: 5*13=8 2 +1. Если рассмотреть это свойство с точки зрения геометрии, можно заметить нечто странное. Разделим квадрат
размером 8х8 (всего 64 маленьких квадратика) на четыре части, длины сторон которых равны числам Фибоначчи. Теперь из этих частей построим прямоугольник размером 5х13. Его площадь составляют 65 маленьких квадратиков. Откуда же берется дополнительный квадрат? Все дело в том, что идеальный прямоугольник не образуется, а остаются крошечные зазоры, которые в сумме и дают эту дополнительную единицу площади. Треугольник Паскаля также имеет связь с последовательностью Фибоначчи. Надо только написать строки треугольника Паскаля одну под другой, а затем складывать элементы по диагонали. Получится последовательность Фибоначчи.
Теперь рассмотрим «золотой» прямоугольник, одна сторона которого в 1,618 раз длиннее другой. На первый взгляд он может показаться нам обычным прямоугольником. Тем не менее, давайте проделаем простой эксперимент с двумя обыкновенными банковскими картами. Положим одну из них горизонтально, а другую вертикально так, чтобы их нижние стороны находились на одной линии. Если в горизонтальной карте провести диагональную линию и продлить ее, то увидим, что она пройдет в точности через правый верхний угол вертикальной карты - приятная неожиданность. Может быть, это случайность, а может, такие прямоугольники и другие геометрические формы, использующие «золотое сечение», особенно приятны глазу. Думал ли Леонардо да Винчи о золотом сечении, работая над своим шедевром? Это кажется маловероятным. Однако можно утверждать, что он придавал большое значение связи между эстетикой и математикой.
Числа Фибоначчи в природе
Связь золотого сечения с красотой - вопрос не только человеческого восприятия. Похоже, сама природа выделила Ф особую роль. Если в «золотой» прямоугольник последовательно вписать квадраты, затем в каждом квадрате провести дугу, то получится элегантная кривая, которая называется логарифмической спиралью. Она вовсе не является математическим курьезом. 5
Наоборот, эта замечательная линия часто встречается в физическом мире: от раковины наутилуса до рукавов галактик, и в элегантной спирали лепестков распустившейся розы. Связи между золотым сечением и числами Фибоначчи многочисленны и неожиданны. Рассмотрим цветок, внешне сильно отличающийся от розы, - подсолнечник с семенами. Первое, что мы видим, - семена расположены по спиралям двух видов: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Если посчитаем спирали почасовой стрелки, то получим два, казалось бы, обычных числа: 21 и 34. Это не единственный пример, когда можно встретить числа Фибоначчи в структуре растений.
Природа даёт нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом - против. Числа спиралей одного и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи. Так, взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу вправо вверх. На многих шишках семена расположены в трёх спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удаётся наблюдать 5 и 8, и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны спирали Фибоначчи и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.
Отросток цикория делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок ещё меньшего размера и снова выброс. Импульсы его роста постепенно уменьшаются в пропорции «золотого» сечения. Чтобы оценить огромную роль чисел Фибоначчи, достаточно лишь взглянуть на красоту окружающей нас природы. Числа Фибоначчи можно найти в количестве
ответвлений на стебле каждого растущего растения и в числе лепестков.
Пересчитаем лепестки некоторых цветов —ириса с его 3 лепестками, примулы с 5 лепестками, амброзии с 13 лепестками, нивяника с 34 лепестками, астры с 55 лепестками и т.д. Случайно ли это, или это закон природы? Посмотрите на стебли и цветы тысячелистника. Таким образом, суммарной последовательностью Фибоначчи можно легко трактовать закономерность проявлений «Золотых» чисел, встречаемых в природе. Эти законы действуют независимо от нашего сознания и желания принимать их или нет. Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов, в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
Числа Фибоначчи в архитектуре
«Золотое сечение» проявляется и во многих замечательных архитектурных творениях на протяжении всей истории человечества. Оказывается, еще древнегреческие и древнеегипетские математики знали эти коэффициенты задолго до Фибоначчи и называли их «золотым сечением». Принцип «золотого сечения» греки использовали при строительстве Парфенона, египтяне - Великой пирамиды в Гизе. Достижения в области строительной техники и разработки новых материалов открыли новые возможности для архитекторов ХХ века. Американец Фрэнк Ллойд Райт был одним из главных сторонников органической архитектуры. Незадолго до смерти он спроектировал музей Соломона Гуггенхайма в Нью-Йорке, представляющий собой опрокинутую спираль, а интерьер музея напоминает раковину наутилуса. Польско-израильский архитектор Цви Хекер также использовал спиральные конструкции в проекте школы имени Хайнца Галински в Берлине, построенной в 1995 году. Хекер начал с идеи подсолнечника с центральным кругом, откуда
расходятся все архитектурные элементы. Здание представляет собой сочетание
ортогональных и концентрических спиралей, символизируя взаимодействие ограниченных человеческих знаний и управляемого хаоса природы. Его архитектура имитирует растение, которое следует за движением Солнца, поэтому классные комнаты освещены в течение всего дня.
В Куинси-парке, расположенном в Кембридже, штат Массачусетс (США), «золотую» спираль можно встретить часто. Парк был спроектирован в 1997 году художником Дэвидом Филлипсом и находится недалеко от Математического института Клэя. Это заведение является известным центром математических исследований. В Куинси-парке можно прогуливаться среди «золотых» спиралей и металлических кривых, рельефов из двух раковин и скалы с символом квадратного корня. На табличке написана информация о «золотой» пропорции. Даже парковка для велосипедов использует символ Ф.
Числа Фибоначчи в психологии
В психологии отмечены переломные моменты, кризисы, перевороты, знаменующие на жизненном пути человека преобразования структуры и функций души. Если человек успешно преодолел эти кризисы, то становится способным решать задачи нового класса, о которых раньше даже не задумывался.
Наличие коренных изменений дает основание рассматривать время жизни в качестве решающего фактора развития духовных качеств. Ведь природа отмеряет нам время не щедро, «ни сколько будет, столько и будет», а ровно столько, чтобы процесс развития материализовался:
в структурах тела;
в чувствах, мышлении и психомоторике — пока они не приобретут гармонию , необходимую для возникновения и запуска механизма
творчества;
в структуре энергопотенциала человека.
Развитие тела нельзя остановить: ребенок становится взрослым человеком. С механизмом же творчества не так все просто. Его развитие можно остановить и изменить его направление.
Существует ли шанс догнать время? Безусловно. Но для этого нужно выполнить огромную работу над собой. То, что развивается свободно, естественным путем, не требует специальных усилий: ребенок свободно развивается и не замечает этой огромной работы, потому что процесс свободного развития создается без насилия над собой.
Как понимается смысл жизненного пути в обыденном сознании? Обыватель видит его так: у подножия — рождение, на вершине — расцвет сил, а потом — все идет под горку.
Мудрец же скажет: все намного сложнее. Восхождение он разделяет на этапы: детство, отрочество, юность… Почему так? Мало, кто способен ответить, хотя каждый уверен, что это замкнутые, целостные этапы жизни.
Чтобы выяснить, как развивается механизм творчества, В.В. Клименко воспользовался математикой, а именно законами чисел Фибоначчи и пропорцией «золотого сечения» — законами природы и жизни человека.
Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на этапы по количеству прожитых лет: 0 — начало отсчета — ребенок родился. У него еще отсутствуют не только психомоторика, мышление, чувства, воображение, но и оперативный энергопотенциал. Он — начало новой жизни, новой гармонии;
1 — ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение;
2 — понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями;
3 — действует посредством слова, задает вопросы;
5 — «возраст грации» — гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств, которые уже позволяют ребенку охватить мир во всей его целостности;
8 — на передний план выходят чувства. Им служит воображение, а мышление силами своей критичности направлено на поддержку внутренней и внешней гармонии жизни;
13 — начинает работать механизм таланта, направленный на превращение приобретенного в процессе наследования материала, развивая свой собственный талант;
21 — механизм творчества приблизился к состоянию гармонии и делаются попытки выполнять талантливую работу;
34— гармония мышления, чувств, воображения и психомоторики: рождается способность к гениальной работе;
55 — в этом возрасте, при условии сохраненной гармонии души и тела, человек готов стать творцом. И так далее…
Что же такое засечки «Чисел Фибоначчи»? Они могут быть сравнимы с плотинами на жизненном пути. Эти плотины ожидают каждого из нас. Прежде всего необходимо преодолеть каждую их них, а потом терпеливо поднимать свой уровень развития, пока в один прекрасный день она не развалится, открывая свободному течению путь к следующей.
Теперь, когда нам понятен смысл этих узловых точек возрастного развития, попробуем расшифровать, как все это происходит.
В1 год ребенок овладевает ходьбой. До этого он познавал мир передней частью головы. Теперь же он познает мир руками — исключительная привилегия человека. Животное передвигается в пространстве, а он, познавая, овладевает пространством и осваивает территорию, на которой живет.
2 года — понимает слово и действует в соответствии с ним. Это значит, что:
ребенок усваивает минимальное количество слов — смыслов и образов действий;
пока что не отделяет себя от окружающей среды и слит в целостность с окружающим,
поэтому действует по чужому указанию. В этом возрасте он самый послушный и приятный для родителей. Из человека чувственного ребенок превращается в человека познающего.
3 года — действие при помощи собственного слова. Уже произошло отделение этого человека от окружающей среды — и он учится быть самостоятельно действующей личностью. Отсюда он:
сознательно противостоит среде и родителям, воспитателям в детском саду и т.д.;
осознает свой суверенитет и борется за самостоятельность;
старается подчинить своей воле близких и хорошо знакомых людей.
Теперь для ребенка слово — это действие. С этого начинается действующий человек.
5 лет — «возраст грации». Он — олицетворение гармонии. Игры, танцы, ловкие движения — все насыщено гармонией, которой человек старается овладеть собственными силами. Гармоничная психомоторика содействует приведению к новому состоянию. Поэтому ребенок направлен на психомоторную активность и стремится к максимально активным действиям.
Материализация продуктов работы чувствительности осуществляется посредством:
способности к отображению окружающей среды и себя как части этого мира (мы слышим, видим, прикасаемся, нюхаем и т.д. — все органы чувств работают на этот процесс);
способности к проектированию внешнего мира, в том числе и себя
(создание второй природы, гипотез — сделать завтра то и другое, построить новую машину, решить проблему), силами критичности мышления, чувств и воображения;
способности к созиданию второй, рукотворной природы, продуктов деятельности (реализация задуманного, конкретные умственные или психомоторные действия с конкретными предметами и процессами).
После 5 лет механизм воображения выходит вперед и начинает доминировать над остальными. Ребенок выполняет гигантскую работу, создавая фантастические образы, и живет в мире сказок и мифов. Гипертрофированность воображения ребенка вызывает у взрослых удивление, потому что воображение никак не соответствует действительности.
8 лет — на передний план выходят чувства и возникают собственные мерки чувств (познавательных, нравственных, эстетических), когда ребенок безошибочно:
оценивает известное и неизвестное;
отличает моральное от аморального, нравственное от безнравственного;
прекрасное от того, что угрожает жизни, гармонию от хаоса.
13 лет — начинает работать механизм творчества. Но это не значит, что он работает на полную мощность. На первый план выходит один из элементов механизма, а все остальные содействуют его работе. Если и в этом возрастном периоде развития сохраняется гармония, которая почти все время перестраивает свою структуру, то отрок безболезненно доберется до следующей плотины, незаметно для себя преодолеет ее и будет жить в возрасте революционера. В возрасте революционера отрок должен сделать новый шаг вперед: отделиться от ближайшего социума и жить в нем гармоничной жизнью и деятельностью. Не каждый может решить эту задачу, возникающую перед каждым из нас.
21 год. Если революционер успешно преодолел первую гармоничную вершину жизни, то его механизм таланта способен выполнять талантливую
работу. Чувства (познавательные, моральные или эстетические) иногда затмевают мышление, но в общем все элементы работают слаженно: чувства открыты миру, а логическое мышление способно с этой вершины называть и находить меры вещей.
Механизм творчества, развиваясь нормально, достигает состояния, позволяющего получать определенные плоды. Он начинает работать. В этом возрасте вперед выходит механизм чувств. По мере того, как воображение и его продукты оцениваются чувствами и мышлением, между ними возникает антагонизм. Побеждают чувства. Эта способность постепенно набирает мощность, и отрок начинает ею пользоваться.
34 года — уравновешенность и гармоничность, продуктивная действенность таланта. Гармония мышления, чувств и воображения, психомоторики, которая пополняется оптимальным энергопотенциалом, и механизм в целом — рождается возможность исполнять гениальную работу.
55 лет — человек может стать творцом. Третья гармоничная вершина жизни: мышление подчиняет себе силу чувств.
Числа Фибоначчи называют этапы развития человека. Пройдет ли человек этот путь без остановок, зависит от родителей и учителей, образовательной системы, а дальше — от него самого и от того, как человек будет познавать и преодолевать самого себя.
На жизненном пути человек открывает 7 предметов отношений:
От дня рождения до 2-х лет — открытие физического и предметного мира ближайшего окружения.
От 2-х до 3-х лет — открытие себя: «Я — Сам».
От 3-х до 5-ти лет — речь, действенный мир слов, гармонии и системы «Я — Ты».
От 5-ти до 8-ми лет — открытие мира чужих мыслей, чувств и образов — системы «Я — Мы».
От 8 до 13 лет — открытие мира задач и проблем, решенных гениями и талантами человечества — системы «Я — Духовность».
От 13 до 21 года — открытие способностей самостоятельно решать всем известные задачи, когда мысли, чувства и воображение начинают активно работать, возникает система «Я — Ноосфера».
От 21 до 34 лет — открытие способности создавать новый мир или его фрагменты — осознание самоконцепции «Я — Творец».
Жизненный путь имеет пространственно-временную структуру. Он состоит из возрастных и индивидуальных фаз, определяемых по многим параметрам жизни. Человек овладевает в определенной мере обстоятельствами своей жизни, становится творцом своей истории и творцом истории общества. Подлинно творческое отношение к жизни, однако, появляется далеко не сразу и даже не у всякого человека. Между фазами жизненного пути существуют генетические связи, и это обусловливает закономерный его характер. Отсюда следует, что в принципе можно предсказывать будущее развитие на основе знания о ранних его фазах.
Числа Фибоначчи в астрономии
Из истории астрономии известно, что И.Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью ряда Фибоначчи нашёл закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы. Но один случай, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Но после смерти Тициуса в начале XIX в. сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов.
Заключение
В процессе исследования я выяснил, что числа Фибоначчи нашли широкое применение в техническом анализе цен на бирже. Один из простейших способов применения чисел Фибоначчи на практике - определение отрезков времени, через которое произойдёт то или иное событие, например, изменение цены. Аналитик отсчитывает определённое количество фибоначчиевских дней или недель (13,21,34,55 и т.д.) от предыдущего сходного события и делает прогноз. Но в этом мне ещё слишком сложно разобраться. Хотя Фибоначчи и был величайшим математиком средних веков, единственные памятники Фибоначчи - это статуя напротив Пизанской башни и две улицы, которые носят его имя: одна - в Пизе, а другая - во Флоренции. И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным мною возникают вполне закономерные вопросы. Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Что же будет дальше? Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появятся ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, тринадцатью и т.д. Не забывайте, что на двух руках по пять пальцев, два из которых состоят из двух фаланг, а восемь - из трёх.
Литература:
Волошинов А.В. «Математика и искусство», М., Просвещение, 1992г.
Воробьёв Н.Н. «Числа Фибоначчи», М., Наука, 1984г.
Стахов А.П. «Код да Винчи и ряд Фибоначчи», Питер формат, 2006 г.
Ф. Корвалан «Золотое сечение. Математический язык красоты», М., Де Агостини, 2014 г.
Максименко С.Д. «Сенситивные периоды жизни и их коды».
«Числа Фибоначчи». Википедия
Последовательность Фибоначчи определяется следующим образом:
Несколько первых её членов:
История
Эти числа ввёл в 1202 г. Леонардо Фибоначчи (Leonardo Fibonacci) (также известный как Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano)). Однако именно благодаря математику 19 века Люка (Lucas) название "числа Фибоначчи" стало общеупотребительным.
Впрочем, индийские математики упоминали числа этой последовательности ещё раньше: Гопала (Gopala) до 1135 г., Хемачандра (Hemachandra) — в 1150 г.
Числа Фибоначчи в природе
Сам Фибоначчи упоминал эти числа в связи с такой задачей: "Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?". Решением этой задачи и будут числа последовательности, называемой теперь в его честь. Впрочем, описанная Фибоначчи ситуация — больше игра разума, чем реальная природа.
Индийские математики Гопала и Хемачандра упоминали числа этой последовательности в связи с количеством ритмических рисунков, образующихся в результате чередования долгих и кратких слогов в стихах или сильных и слабых долей в музыке. Число таких рисунков, имеющих в целом долей, равно .
Числа Фибоначчи появляются и в работе Кеплера 1611 года, который размышлял о числах, встречающихся в природе (работа "О шестиугольных снежинках").
Интересен пример растения — тысячелистника, у которого число стеблей (а значит и цветков) всегда есть число Фибоначчи. Причина этого проста: будучи изначально с единственным стеблем, этот стебель затем делится на два, затем от главного стебля ответвляется ещё один, затем первые два стебля снова разветвляются, затем все стебли, кроме двух последних, разветвляются, и так далее. Таким образом, каждый стебель после своего появления "пропускает" одно разветвление, а затем начинает делиться на каждом уровне разветвлений, что и даёт в результате числа Фибоначчи.
Вообще говоря, у многих цветов (например, лилий) число лепестков является тем или иным числом Фибоначчи.
Также в ботанике известно явление ""филлотаксиса"". В качестве примера можно привести расположение семечек подсолнуха: если посмотреть сверху на их расположение, то можно увидеть одновременно две серии спиралей (как бы наложенных друг на друга): одни закручены по часовой стрелке, другие — против. Оказывается, что число этих спиралей примерно совпадает с двумя последовательными числами Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144. Аналогичные факты верны и для некоторых других цветов, а также для сосновых шишек, брокколи, ананасов, и т.д.
Для многих растений (по некоторым данным, для 90% из них) верен и такой интересный факт. Рассмотрим какой-нибудь лист, и будем спускаться от него вниз до тех пор, пока не достигнем листа, расположенного на стебле точно так же (т.е. направленного точно в ту же сторону). Попутно будем считать все листья, попадавшиеся нам (т.е. расположенные по высоте между стартовым листом и конечным), но расположенными по-другому. Нумеруя их, мы будем постепенно совершать витки вокруг стебля (поскольку листья расположены на стебле по спирали). В зависимости от того, совершать витки по часовой стрелке или против, будет получаться разное число витков. Но оказывается, что число витков, совершённых нами по часовой стрелке, число витков, совершённых против часовой стрелки, и число встреченных листьев образуют 3 последовательных числа Фибоначчи.
Впрочем, следует отметить, что есть и растения, для которых приведённые выше подсчёты дадут числа из совсем других последовательностей, поэтому нельзя сказать, что явление филлотаксиса является законом, — это скорее занимательная тенденция.
Свойства
Числа Фибоначчи обладают множеством интересных математических свойств.
Вот лишь некоторые из них:
Фибоначчиева система счисления
Теорема Цекендорфа утверждает, что любое натуральное число можно представить единственным образом в виде суммы чисел Фибоначчи:
где , , , (т.е. в записи нельзя использовать два соседних числа Фибоначчи).
Отсюда следует, что любое число можно однозначно записать в фибоначчиевой системе счисления , например:
причём ни в каком числе не могут идти две единицы подряд.
Нетрудно получить и правило прибавления единицы к числу в фибоначчиевой системе счисления: если младшая цифра равна 0, то её заменяем на 1, а если равна 1 (т.е. в конце стоит 01), то 01 заменяем на 10. Затем "исправляем" запись, последовательно исправляя везде 011 на 100. В результате за линейное время будет получена запись нового числа.
Перевод числа в фибоначчиеву систему счисления осуществляется простым "жадным" алгоритмом: просто перебираем числа Фибоначчи от больших к меньшим и, если некоторое , то входит в запись числа , и мы отнимаем от и продолжаем поиск.
Формула для n-го числа Фибоначчи
Формула через радикалы
Существует замечательная формула, называемая по имени французского математика Бине (Binet), хотя она была известна до него Муавру (Moivre):
Эту формулу легко доказать по индукции, однако вывести её можно с помощью понятия образующих функций или с помощью решения функционального уравнения.
Сразу можно заметить, что второе слагаемое всегда по модулю меньше 1, и более того, очень быстро убывает (экспоненциально). Отсюда следует, что значение первого слагаемого даёт "почти" значение . Это можно записать в строгом виде:
где квадратные скобки обозначают округление до ближайшего целого.
Впрочем, для практического применения в вычислениях эти формулы мало подходят, потому что требуют очень высокой точности работы с дробными числами.
Матричная формула для чисел Фибоначчи
Нетрудно доказать матричное следующее равенство:
Но тогда, обозначая
получаем:
Таким образом, для нахождения -го числа Фибоначчи надо возвести матрицу в степень .
Вспоминая, что возведение матрицы в -ую степень можно осуществить за (см.
по материалам книги Б. Биггса «вышел хеджер из тумана»
О числах Фибоначчи и трейдинге
В качестве вступления к теме ненадолго обратимся к техническому анализу. Если говорить кратко, то технический анализ ставит задачей предсказать будущее движение цены актива, основываясь на прошлых исторических данных. Наиболее известная формулировка его сторонников — цена уже включает в себя всю необходимую информацию. Реализация технического анализа началась с развитием биржевых спекуляций и наверное полностью не закончена до сих пор, поскольку потенциально сулит неограниченные заработки. Наиболее известными методиками (терминами) в технализе являются уровни поддержки и сопротивления, японские свечи, фигуры, предвещающие разворот цены и др.
Парадоксальность ситуации на мой взгляд заключается в следующем — большинство описанных методов получили столь большое распространение, что, несмотря на отсутствие доказательной базы по их эффективности, действительно получили возможность влиять на поведение рынка. Поэтому даже скептикам, которые пользуются фундаментальными данными, стоит учитывать эти понятия просто потому, что их учитывает очень большое число других игроков («технарей»). Технический анализ может хорошо работать на истории, но стабильно зарабатывать с его помощью на практике не удается практически никому — гораздо проще разбогатеть, издав большим тиражом книгу «как стать миллионером, используя технический анализ»…
В этом смысле особняком стоит теория Фибоначчи, также применяемая для предсказания цены на разные сроки. Ее последователей обычно называют «волновиками». Особняком она стоит потому, что появилась не одновременно с рынком, а гораздо раньше — аж на целых 800 лет. Другая ее особенность в том, что теория нашла свое отражение чуть ли не как мировая концепция для описания всего и вся, и рынок является лишь частным случаем для ее приложения. Эффектность теории и срок ее существования обеспечивают ей как новых сторонников, так и новые попытки составить наименее спорное и общепризнанное описание поведения рынков на ее основе. Но увы — дальше отдельных удачных рыночных предсказаний, которые можно приравнять к везению, теория все-таки не продвинулась.
Суть теории Фибоначчи
Фибоначчи прожил долгую, особенно для своего времени, жизнь, которую посвятил решению ряда математических задач, сформулировав их в своем объемном труде «Книга о счетах» (начало 13 века). Его всегда интересовала мистика чисел — вероятно, он был не менее гениален, чем Архимед или Евклид. Задачи, связанные с квадратными уравнениями, ставились и частично решались и до Фибоначчи, например известным Омаром Хайямом — ученым и поэтом; однако Фибоначчи сформулировал задачу о размножении кроликов, выводы из которой и принесли ему то, что позволило его имени не затеряться в веках.
Вкратце задача заключается в следующем. В место, огороженное со всех сторон стеной, поместили пару кроликов, причем любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Размножение кроликов во времени при этом будет описываться последовательностью: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и т.д. С математической точки зрения последовательность оказалась просто уникальной, поскольку обладала целым рядом выдающихся свойств:
сумма двух любых последовательных чисел есть следующее число последовательности;
отношение каждого числа последовательности, начиная с пятого, к предыдущему, равно 1.618;
разница между квадратом любого числа и квадратом числа на две позиции левее, будет числом Фибоначчи;
сумма квадратов стоящих рядом чисел будет числом Фибоначчи, которое стоит через две позиции после большего из возведенных в квадрат чисел
Из этих выводов наиболее интересен второй, поскольку в нем используется число 1.618, известное как «золотое сечение». Это число было известно еще древним грекам, которые использовали его при постройке Парфенона (кстати, по некоторым данным служившим грекам Центробанком). Не менее интересно и то, что число 1.618 можно обнаружить в природе как в микро-, так и макромасштабе — от витков спирали на панцире улитки до больших спиралей космических галактик. Пирамиды в Гизе, созданные древними египтянами, при конструировании также содержали сразу несколько параметров ряда Фибоначчи. Прямоугольник, одна сторона которого больше другой в 1.618 раза, выглядит наиболее приятно для глаза — это соотношение использовал Леонардо да Винчи для своих картин, а в более житейском плане им иногда пользовались при создании окон или дверных проемов. Даже волну, как на рисунке в начале статьи, можно представить в виде спирали Фибоначчи.
В живой природе последовательность Фибоначчи проявляется не менее часто — ее можно найти в когтях, зубах, подсолнухе, паутине и даже размножении бактерий. При желании последовательность обнаруживается практически во всем, включая человеческое лицо и тело. И тем не менее существует мнение, что многие утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны - это распространенный миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат.
Числа Фибоначчи на финансовых рынках
Одним из первых, кто наиболее плотно занимался приложением чисел Фибоначчи к финансовому рынку, был Р. Эллиот. Его труды не пропали даром в том смысле, что рыночные описания с применением теории Фибоначчи часто называются «волнами Эллиота». В основу развития рынков здесь была положена модель развития человечества из суперциклов с тремя шагами вперед и двумя назад. То, что человечество развивается нелинейно, очевидно почти каждому — знания Древнего Египта и атомистическое учение Демокрита было полностью утрачено в Средневековье, т.е. спустя примерно 2000 лет; 20 век породил такой ужас и ничтожность человеческой жизни, которые сложно было представить даже в эпоху Пунических войн греков. Однако даже если принять теорию шагов и их количество за истину, остается неясной размер каждого шага, что делает волны Эллиота сравнимыми с предсказательной силой орла и решки. Отправная точка и правильный расчет числа волн были и видимо будут главной слабостью теории.
Тем не менее локальные успехи у теории были. Боб Претчер, которого можно считать учеником Эллиота, правильно предсказал бычий рынок начала 80-х, а 1987 год — как поворотный. Это действительно случилось, после чего Боб очевидно чувствовал себя гением — по крайней мере, в глазах других он точно стал инвестиционным гуру. Подписка на Elliott Wave Theorist Пречтера в тот год выросла до 20 000, однако уменьшилась в начале 1990-х годов, поскольку предсказываемые далее «гибель и мрак» американского рынка решили немного повременить. Однако для японского рынка это сработало, и ряд сторонников теории, «опоздавших» там на одну волну, потеряли либо свои капиталы, либо капиталы клиентов своих компаний. Равным образом и с теми же успехами теорию нередко пытаются применить к торговле на валютном рынке.
Теория охватывает самые разные периоды торговли — от недельной, что роднит ее со стандартными стратегиями теханализа, до расчета на десятилетия, т.е. влезает на территорию фундаментальных предсказаний. Это возможно благодаря варьированию числа волн. Слабости теории, о которых говорилось выше, позволяют ее адептам говорить не о несостоятельности волн, а о собственных просчетах в их числе и неверном определении исходного положения. Это похоже на лабиринт — даже если у вас есть верная карта, то выйти по ней можно лишь при условии, что понимаешь, где именно находишься. Иначе пользы от карты нет. В случае же с волнами Эллиота есть все признаки сомневаться не только в правильности своего месторасположения, но и в верности карты как таковой.
Выводы
Волновое развитие человечества имеет под собой реальную основу — в средние века волны инфляции и дефляции чередовались между собой, когда войны сменяли относительно спокойную мирную жизнь. Наблюдение последовательности Фибоначчи в природе по крайней мере в отдельных случаях сомнения тоже не вызывает. Поэтому каждый на вопрос, кто есть Бог: математик или генератор случайных чисел — вправе давать собственный ответ. Лично мое мнение такого, что хотя всю человеческую историю и рынки можно представить в волновой концепции, высоту и продолжительность каждой волны не дано предугадать никому.
При этом 200 лет наблюдений за американским рынком и более 100 лет за остальными позволяют четко сказать, что фондовый рынок растет, проходя через различные периоды роста и стагнации. Этого факта вполне достаточно для долгосрочного заработка на фондовом рынке, не прибегая к спорным теориям и доверяя им больше капитала, чем следует в рамках разумных рисков.
Фибоначчи Леонардо Пизанский (лат. Leonardo Pisano, Пиза, около 1170 -- около 1250) -- это первый крупный математик средневековой Европы. Более известен под прозвищем Фибонамччи (Fibonacci), что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился» (Figlio Buono Nato Ci).
О бытие Фибоначчи известно немного. Неизвестна даже точная дата его рождения. Предполагается, что Фибоначчи родился предположительно в 1170 г
Леонардо Фибоначчи был знаменитым итальянским математиком, он славился своим умением делать расчеты. Однажды его осенило и он открыл простую последовательность чисел, соотношения между которыми описывали естественные пропорции всех тел вселенной!
Леонардо Фибоначчи был выдающимся математиком средневековья. Плоды его математических трудов применяются во многих науках, искусстве и повседневной жизни по сей день.
Заслугой Леонардо Фибоначчи является ряд чисел Фибоначчи. Считается, что об этом ряде было известно на Востоке, но именно Леонардо Фибоначчи опубликовал этот ряд чисел в книге «Liber Abaci» (сделал он это для демонстрации размножения популяции кроликов).
Эллиотт писал: "Закон пpиpоды включает в pассмотpение важнейший элемент- ритмичность. Закон пpиpоды - это не некая система, не метод игры на рынке, а явление, хаpактеpное, видимо, для хода любой человеческой деятельности. Его применение в пpогнозиpовании революционно."
Этот шанс предсказать движения цен побуждает легионы аналитиков трудиться денно и нощно. Мы сосредоточимся на способности делать предсказания и попытаемся выяснить, возможно это или нет. Вводя свой подход, Эллиотт был очень конкретен. Он писал: "Любой человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, -и все они подчиняются суммационной последовательности Фибоначчи".
Последовательность Фибоначчи, известная всем по фильму "Код Да Винчи" - ряд цифр, описанный в виде загадки Итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке. Вкратце суть загадки:
Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.
Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр.
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение - 0,618: 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...
У этой последовательности есть ряд математических особенностей, которых обязательно нужно коснуться. Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Так отношение какого-либо члена последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618, через pаз то превосходя, то не достигая его. Отношение к следующему аналогично приближается к числу 0,618, что обратно пропорционально 1,618. Если мы будем делить элементы последовательности через одно, то получим числа 2,618 и 0,382, которые так же являются обратно пропорциональными. Это так называемые коэффициенты Фибоначчи.
Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций и для порождения золотого сечения пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи.
Чудесные свойства ряда Фибоначчи проявляются и в самих числах, являющихся членами этого ряда. Расположим члены ряда Фибоначчи по вертикали., а затем вправо, в порядке убывания, запишем натуральные числа.
21 20 19 18 17 16 15 14 13
34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21
55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34
Каждая строчка начинается и завершается числом Фибоначчи, т. е. в каждой строчке всего два таких числа. "синие" числа - 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42 обладают особыми свойствами (второй уровень иерархии ряда Фибоначчи):
(5-4)/(4-3) = 1/1
(8-7)/(7-5) = 1/2 и (8-6)/(6-5) = 2/1
(13-11)/(11-8) = 2/3 и (13-10)/(10-8) = 3/2
(21-18)/(18-13) = 3/5 и (21-16)/(1б-13) = 5/3
(34-29)/(29-21) = 5/8 и (34-26)/(26-21) = 8/5
(55-47)/(47-34) = 8/13 и (55-42)/(42-34) = 13/8
Мы получили дробный ряд Фибоначчи, который, возможно, «исповедуют» коллективные спины элементарных частиц и атомов химических элементов.
Представим эти числа как последовательность рычажных весов
К чему всё это? Так мы приближаемся к одному из самых загадочных явлений природы. Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое Сечение, которое не уступает по значимости теореме Пифагора.
Все окружающие нас предметы мы различаем в том числе и по форме. Какие-то нам нравятся больше, какие-то меньше, некоторые вовсе отталкивают взгляд. Иногда интерес может быть продиктован жизненной ситуацией, а порой красотой наблюдаемого объекта. Симметричная и пропорциональная форма, способствует наилучшему зрительному восприятию и вызывает ощущение красоты и гармонии. Целостный образ всегда состоит из частей разного размера, находящихся в определённом соотношении друг с другом и целым. Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе.
Если на простом примере, то Золотое Сечение - это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.
Если мы примем весь отрезок c за 1, то отрезок a будет равен 0,618, отрезок b - 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение c к a равно 1,618, а с к b 2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.
Разумеется есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению.
Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.
Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим ни что иное, как спираль Архимеда, увеличение шага которой всегда равномерно.
Ряд Фибоначчи - это не только математическая загадка, мы встречаемся с ним каждый день в повседневной жизни:
И не только в раковине моллюска можно найти спирали Архимеда, а во многих цветах и растениях, просто они не такие явные.
Раковина в форме спирали - форма раковины заинтересовала Архимеда и он выяснил, что увеличение длины завитков раковины - это постоянная величина и равна она 1,618.
Алое многолистный.
Брокколи романеско.
Подсолнечник: Семена в подсолнухе, располагаются так же в виде спирали.
Сосновая шишка.
Рост растений тоже происходит в соответствии с числовым рядом Фибоначчи - от ствола отходит ветка, на которой появляется лист, затем происходит длинный выброс и снова появляется листок, но он уже короче предыдущего. Затем опять выброс, но и он короче предыдущего. В этой картине, первый выброс равен 100%, второй 62%, а третий 38%(уровни Фибоначчи, используемые в торговле) и т.д. С длиной лепестков все выглядит точно так же.
Ящерица - если поделить ящерицу на хвост и тело, то соотношение их будет 0,62 к 0,38.
Пирамиды - длина ребра пирамиды равна 783.3 футам, а высота пирамиды равна 484.4 футам. Соотношение длины ребра/высота пирамиды составляет 1,618.
Как видно, числовой ряд Фибоначчи широко представлен в нашей жизни: в строении живых существ, сооружений, с его помощью даже описывается устройство Галактик. Все это свидетельствует об универсальности математической загадки числового ряда Фибоначчи.
И тут самое время вспомнить о Золотом Сечении! Ни одни ли из самых прекрасных и гармоничных творений природы изображены на этих фотографиях? И это далеко не все. Присмотревшись, можно найти похожие закономерности во многих формах.
Конечно заявление, что все эти явление построены на последовательности Фибоначчи звучит слишком громко, но тенденция на лицо. Да и к тому же сама последовательность далека от совершенства, как и всё в этом мире.
Есть предположение, что последовательность Фибоначчи - это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотое сечение логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любой последовательности достаточно знать три её члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.
Каждый член золотой логарифмической последовательности явлется степенью Золотой Пропорции (z). Часть ряда выглядит примерно так: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим z=1,618, тогда ряд выглядит так: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618, но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост в последовательности обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.
И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным, возникают вполне закономерные вопросы:
От куда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Было ли когда-то всё так, как он хотел? И если да, то почему сбилось? Мутации? Свободный выбор? Что же будет дальше? Спираль скручивается или раскручивается?
Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...
Прикладное значение ряда Фибоначчи и Золотого Сечения заслуживает отдельного сайта. Сейчас лишь скажу, что, например, элементы ряда Фибоначчи применяются для вычисления скользящих средних (не говоря уже о росте популяции кроликов), и шедевры мирового искусства содержат в себе Золотое Сечение.
А пока, помните, что Фибоначчи -- легендарная личность в математике, экономике и финансах; он обнародовал Арабские числа и представил магический ряд чисел.
ряд число фибоначчи
