Так называются уравнения вида, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и
а(х) g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:
а(х) = О f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет
а(х) = 1 . Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
а(х) = -1 . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет
При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.
Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.
1) x - 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3 2 > 0, то x 1 = 3 - это решение.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x 3 = 1.
4) x - 3 ? 0 и x ? ± 1. x = x 2 , x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 -верно это решение x 4 = 0. При x = 1, (-2) 1 = (-2) 1 - верно это решение x 5 = 1.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.
По определению арифметического квадратного корня: x - 1 ? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 или x = 1, = 0, 0 0 это не решение.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.
Д = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - корней нет.
Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: а х = а b , где а> 0, а 1, х - неизвестное.
Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0.
При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = a x , a > 0, a1:
Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b = , a > 0, a1, b > 0.
Задачи и тесты по теме "Показательные уравнения"
- Показательные уравнения
Уроков: 4 Заданий: 21 Тестов: 1
- Показательные уравнения - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике
Заданий: 14
- Системы показательных и логарифмических уравнений - Показательная и логарифмическая функции 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 15 Тестов: 1
- §2.1. Решение показательных уравнений
Уроков: 1 Заданий: 27
- §7 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства - Раздел 5. Показательная и логарифмическая функции 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 17
Для успешного решения показательных уравнений Вы должны знать основные свойства степеней, свойства показательной функции, основное логарифмическое тождество.
При решении показательных уравнений используют два основных метода:
- переход от уравнения a f(x) = a g(x) к уравнению f(x) = g(x);
- введение новых прямых.
Примеры.
1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей уравнения к степени с одинаковым основанием.
3 x = 9 x – 2 .
Решение:
3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.
Ответ: 4.
2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.
Решение:
3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.
Ответ: 3.
3. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
Решение:
2 2x + 2 x – 12 = 0
Обозначаем 2 x = у.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4.Уравнение не имеет решений, т.к. 2 х > 0.
б) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.
Ответ: log 2 3.
4. Уравнения, содержащие степени с двумя различными (не сводящимися друг к другу) основаниями.
3 × 2 х + 1 - 2 × 5 х – 2 = 5 х + 2 х – 2 .
3× 2 х + 1 – 2 х – 2 = 5 х – 2 × 5 х – 2
2 х – 2 ×23 = 5 х – 2
×23
2 х – 2 = 5 х – 2
(5/2) х– 2 = 1
х – 2 = 0
х = 2.
Ответ: 2.
5. Уравнения, однородные относительно a x и b x .
Общий вид: .
9 x + 4 x = 2,5 × 6 x .
Решение:
3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Обозначим (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.
Ответ: log 3/2 2; - log 3/2 2.
1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.
Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
2º. Основные способы решения показательных уравнений :
1) простейшее уравнение имеет решение ;
2) уравнение вида логарифмированием по основанию a сводят к виду ;
3) уравнение вида равносильно уравнению ;
4) уравнение вида равносильно уравнению .
5) уравнение вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность простейших показательных уравнений ;
6) уравнение со взаимно обратными величинами заменой сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений ;
7) уравнения, однородные относительно a g (x) и b g (x) при условии вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений .
Классификация показательных уравнений.
1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию .
Пример 18. Решить уравнение .
Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются степенями числа 5: .
2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени .
Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду , которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему.
Пример 19. Решить уравнение:
3. Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки .
Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем.
Пример 20. Решить уравнение .
Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим показателем за скобки:
Пример 21. Решить уравнение
Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, содержащие степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем вынесем степени с наименьшим показателем за скобки:
4. Уравнения, сводящиеся к квадратным (или кубическим) уравнениям .
К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся уравнения:
а) вида подстановкой , при этом ;
б) вида подстановкой , при этом .
Пример 22. Решить уравнение .
Решение: Сделаем замену переменной и решим квадратное уравнение:
.
Ответ: 0; 1.
5. Однородные относительно показательных функций уравнения.
Уравнение вида является однородным уравнением второй степени относительно неизвестных a x и b x . Такие уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на и последующей подстановкой к квадратным уравнениям.
Пример 23. Решить уравнение .
Решение: Разделим обе части уравнения на :
Положив , получим квадратное уравнение с корнями .
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений . Из первого уравнения находим, что . Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значения x .
Ответ: -1/2.
6. Рациональные относительно показательных функций уравнения .
Пример 24. Решить уравнение .
Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3 x и получим вместо двух – одну показательную функцию:
7. Уравнения вида .
Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), определяемым условием , логарифмированием обеих частей уравнения приводятся к равносильному уравнению , которые в свою очередь равносильны совокупности двух уравнений или .
Пример 25. Решить уравнение: .
.
Дидактический материал.
Решите уравнения:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
9. ; 10. ; 11. ;
14. ; 15. ;
16. ; 17. ;
18. ; 19. ;
20. ; 21. ;
22. ; 23. ;
24. ; 25. .
26. Найдите произведение корней уравнения .
27. Найдите сумму корней уравнения .
Найдите значение выражения:
28. , где x 0 – корень уравнения ;
29. , где x 0 – целый корень уравнения .
Решите уравнение:
31. ; 32. .
Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Тема №8.
Показательные неравенства.
1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.
2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих утверждениях:
если , то неравенство равносильно ;
если , то неравенство равносильно .
При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.
Пример 26. Решить неравенство (методом перехода к одному основанию ).
Решение: Так как , то заданное неравенство можно записать в виде: . Так как , то данное неравенство равносильно неравенству .
Решив последнее неравенство, получим .
Пример 27. Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки ).
Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный:
Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал .
Пример 28. Решить неравенство (методом введения новой переменной ).
Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал .
Отсюда . Поскольку функция возрастает, то .
Дидактический материал.
Укажите множество решений неравенства:
1. ; 2. ; 3. ;
6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ?
7. При каких значениях x точки графика функции лежат не ниже прямой ?
Решите неравенство:
8. ; 9. ; 10. ;
13. Укажите наибольшее целое решение неравенства .
14. Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решений неравенства .
Решите неравенство:
15. ; 16. ; 17. ;
18. ; 19. ; 20. ;
21. ; 22. ; 23. ;
24. ; 25. ; 26. .
Найдите область определения функции:
27. ; 28. .
29. Найдите множество значений аргумента, при которых значения каждой из функций больше 3:
и .
Ответы:
11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U{5}; 28. }