Исследование операций – это комплексная математическая дисциплина, занимающаяся построением, анализом и применением математических моделей принятия оптимальных решений при проведении операций.

Предмет исследования операций - системы организационного управления или организации, которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений не всегда согласующихся между собой и могут быть противоположны.

Цель исследования операций - количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями

Операция – система управляемых действий, объединенная единым замыслом и направленная на достижение определенной цели.

Набор управляющих параметров (переменных) при проведении операции называется решением . Решение называется допустимым , если оно удовлетворяет набору определенных условий. Решение называется оптимальным , если оно допустимо и, по определенным признакам, предпочтительнее других, или, по крайней мере, не хуже.

Признак предпочтения называется критерием оптимальности.

Критерий оптимальности включает в себя целевую функцию направление оптимизации или набор целевых функций и соответствующих направлений оптимизации.

Целевая функция – это количественный показатель предпочтительности или эффективности решений.

Направление оптимизации - это максимум (минимум), если наиболее предпочтительным является наибольшее (наименьшее) значение целевой функции. Например, критерием может быть максимизация прибыли либо минимизация затрат.

Математическая модель задачи ИО включает в себя:

1) описание переменных, которые необходимо найти;

2) описание критериев оптимальности;

3) описание допустимых решений (ограничений, накладываемых на переменные)

Цель ИО – количественно и качественно обосновать принимаемое решение. Окончательное решение принимает ответственное лицо либо группа лиц, называемое ЛПР – лицо, принимающее решение.

Вектор, удовлетворяющий системе ограничений, называется допустимым решением или планом ЗЛП . Множество всех планов называется допустимой областью или областью допустимых решений . План, который доставляет максимум (минимум), целевой функции называется оптимальным планом или оптимальным решением ЗЛП . Таким образом, решить ЗЛП – значит найти ее оптимальный план.

Привести общую ЗЛП к основной очень просто, используя следующие очевидные правила.

Минимизация целевой функции f равносильна максимизации функции g = – f .

Ограничение в виде неравенства равносильно уравнению при условии, что дополнительная переменная.

Если на некоторую переменную x j не накладывается условие неотрицательности, то делают замену переменной,.

Линия уровня функции f , т. е. линию, вдоль которой эта функция принимает одно и то же фиксированное значение с , т. е. f (x 1 , x 2)= c

Множество точек называется выпуклым , если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки.

В случае двух переменных множество решений линейного неравенства (уравнения) представляет собой полуплоскость (прямую).

Пересечение этих полуплоскостей (и прямых, если в системе ограничений есть уравнения) представляет собой допустимую область. Если она не пуста, то является выпуклым множеством и называется многоугольником решений .

В случае трех переменных допустимая область ЗЛП есть пересечение полупространств и, возможно, плоскостей, и называется многогранником решений

Система линейных уравнений называется системой с базисом , если в каждом уравнении содержится неизвестное с коэффициентом, равным 1, отсутствующее в остальных уравнениях системы. Эти неизвестные называются базисными , остальные – свободными .

Систему линейных уравнений будем называть канонической , если она является системой с базисом и все b i ≥ 0. Базисное решение в этом случае оказывается планом, т. к. его компоненты неотрицательны. Назовем его базисным (или опорным ) планом канонической системы.

ОЗЛП будем называть канонической (КЗЛП), если система линейных уравнений этой задачи – каноническая, а целевая функция выражена только через свободные неизвестные.

Т. Если в симплекс-таблице среди коэффициентов при каком-либо свободном неизвестном имеется хотя бы один положительный элемент, то возможен переход к новой канонической задаче, равносильной исходной, в которой указанное свободное неизвестное оказывается базисным (при этом одно из базисных неизвестных переходит в число свободных).

Теорема 2 . (об улучшении базисного плана) j , а в столбце х j имеется хотя бы один положительный элемент, причем ключевое отношение >0, то возможен переход к равносильной канонической задаче с не хужим базисным планом.

Теорема 3 . (достаточное условие оптимальности) . Если все элементы индексной строки симплекс-таблицы задачи максимизации неотрицательны, то базисный план этой задачи является оптимальным, а с 0 есть максимум целевой функции на множестве планов задачи.

Теорема 4 . (случай неограниченности целевой функции) . Если в индексной строке симплекс-таблицы задачи максимизации содержится отрицательный элемент с j , а в столбце неизвестного х j все элементы неположительны, то на множестве планов задачи целевая функция не ограничена сверху.

Симплекс-метод:

Записываем данную КЗЛП в исходную симплекс-таблицу.

Если все элементы индексной строки симплекс-таблицы неотрицательны, то базисный план задачи является оптимальным (теорема 3).

Если в индексной строке содержится отрицательный элемент, над которым в таблице нет ни одного положительного, то целевая функция не ограничена сверху на множестве планов и задача не имеет решений (теорема 4).

Если над каждым отрицательным элементом индексной строки имеется в таблице хотя бы один положительный, то следует перейти к новой симплекс-таблице, для которой базисный план не хуже предыдущего (теорема 2). С этой целью (см. доказательство теоремы 1)

выбираем в таблице ключевой столбец, в основании которого находится какой-либо отрицательный элемент индексной строки;

выделяем ключевое отношение (минимальное из отношений b i к положительным элементам ключевого столбца), знаменатель которого будет ключевым элементом;

составляем новую симплекс-таблицу; для этого делим ключевую строку (строку, в которой находится ключевой элемент) на ключевой элемент, а затем из всех остальных строк (включая индексную) вычитаем полученную строку, умноженную на соответствующий элемент ключевого столбца (чтобы все элементы этого столбца, кроме ключевого, стали равны 0).

При рассмотрении полученной симплекс-таблицы непременно представится один из трех случаев, описанных в пп. 2, 3, 4. Если при этом возникнут ситуации пп. 2 или 3, то процесс решения задачи завершается, если же возникнет ситуация п. 4, то процесс продолжается.

Если учесть, что число различных базисных планов конечно, то возможны два случая:

через конечное число шагов задача будет решена (возникнут ситуации пп. 2 или 3);

начиная с некоторого шага возникает зацикливание (периодическое повторение симплексных таблиц и базисных планов).

Эти задачи называются симметричными двойственными задачами . Отметим следующие особенности, связывающие эти задачи:

Одна из задач является задачей максимизации, а другая – минимизации.

В задаче максимизации все неравенства – ≤, а в задаче минимизации – ≥.

Число неизвестных одной задачи равно числу неравенств другой.

Матрицы коэффициентов при неизвестных в неравенствах обеих задач являются взаимно транспонированными.

Свободные члены неравенств одной из задач равны коэффициентам при соответствующих неизвестных в выражении целевой функции другой задачи.

Алгоритм построения двойственной задачи.

1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одном смыслу – к каноническому виду.

2. Составить расширенную матрицу системы А, в которую включить столбец b i и коэффициенты целевой функции F.

3. Найти транспонированную матрицу А Т.

4. Записать двойственную задачу.

Теорема 5. Значение целевой функции задачи максимизации для любого ее плана не превосходит значения целевой функции двойственной к ней задачи минимизации для любого ее плана, т. е. имеет место неравенство:

f (x ) ≤ g (y ),

называемое основным неравенством двойственности .

Теорема 6. (достаточное условие оптимальности ). Если для некоторых планов двойственных задач значения целевых функций равны, то эти планы являются оптимальными.

Теорема 7. (основная теорема двойственности ). Если ЗЛП имеет конечный оптимум, то двойственная к ней также имеет конечный оптимум, и оптимальные значения целевых функций совпадают. Если целевая функция одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Теорема 8. (о дополняющей нежесткости ). Для того чтобы допустимые решения и двойственных задач являлись оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Ценности ресурсов прямой ЗЛП представляет собой значения переменных в оптимальном решении двойственной задачи.

Компоненты оптимального решения двойственной ЗЛП равны соответствующим элементам индексной строки оптимальной симплекс-таблицы прямой задачи, отвечающим дополнительным переменным.

Теорема 11. (критерий оптимальности плана транспортной задачи). Для того чтобы план перевозок) был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовали числа () и (), удовлетворяющие следующим условиям:

а) для всех базисных клеток плана (>0);

б) для всех свободных клеток (=0).

Метод потенциалов

Шаг 1. Проверить является ли данная транспортная задача закрытой. Если да, то перейти ко второму шагу. Если нет, то свести ее к закрытой задаче путем введения либо фиктивного поставщика, либо фиктивного потребителя.

Шаг 2. Найти исходное опорное решение (исходный опорный план) закрытой транспортной задачи.

Шаг 3. Проверить полученное опорное решение на оптимальность:

вычислить для него потенциалы поставщиков u i и потребителей v j

для всех свободных клеток (i , j ) вычислить оценки;

если все оценки неположительны (), то решение задачи окончено: исходный опорный план оптимален. Если среди оценок есть хотя бы одна положительная, то переходим к четвертому шагу.

Шаг 4. Выбрать клетку (i * ,j * ) с наибольшей положительной оценкой и для нее построить замкнутый цикл перераспределения груза. Цикл начинается и заканчивается в выбранной клетке. Получим новое опорное решение, в котором клетка (i * , j * ) окажется занятой. Возвращаемся к третьему шагу.

Через конечное число шагов будет получено оптимальное решение, т. е. оптимальный план перевозок продукции от поставщиков к потребителям.

Точка называется точкой локального максимума , если существует окрестность этой точки такая, что

Необходимые условия оптимальности

Для того, чтобы функция одной переменной имела в точке x * локальный экстремум, необходимо, чтобы производная функции в этой точке была равна нулю,

Для того, чтобы функция имела в точке локальный экстремум, необходимо, чтобы все ее частные производные в этой точке обращались в ноль

Если в точке x * первая производная функции равна нулю, а вторая производная >0, то функция в точке x * имеет локальный минимум, если 2 произв,<0 то функция в точке x * имеет локальный максимум.

Теорема 4. Если функция одной переменной имеет в точке x * производные до (n - 1) порядка, равные нулю, и производная n порялка не равна 0, то тогда,

если n четно, то точка x * является точкой минимума, если,fn(x)>0

точкой максимума, если fn(x)<0.

Если n нечетно, то точка x * – точка перегиба.

Числовая матрица называется матрицей квадратичной формы .

Квадратичная форма (5) называется положительно определенной , если для Q(X) >0 и отрицательно определенной , если для.Q(X)<0

Симметричная матрица A называется положительно определенной , если построенная по ней квадратичная форма (5) положительно определена.

Симметричная матрица называетсяотрицательно определенной , если построенная по ней квадратичная форма (6) отрицательно определена.

Критерий Сильвестра: матрица является положительно определенной, если все ее угловые миноры больше нуля.

Матрица является отрицательно определенной, если знаки угловых миноров чередуются.

Для того чтобы матрица была положительно определенной, необходимо, чтобы все ее собственные числа были больше нуля.

Собственные числа – корни многочлена .

Достаточное условие оптимальности задается следующей теоремой.

Теорема 5. Если в стационарной точке матрица Гессе положительно определена, то эта точка – точка локального минимума, если матрица Гессе отрицательно определена, то эта точка – точка локального максимума.

Конфликт - это противоречие, вызванное противоположными интересами сторон.

Конфликтная ситуация – ситуация, в которой участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

Игра - это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника, каждый из которых стремится к достижению собственных целей

Правилами игры называют допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели.

Платежом называется количественная оценка результатов игры.

Парная игра – игра, в которой участвуют только две стороны (два игрока).

Игра с нулевой суммой или антагонистическая - парная игра, при которой сумма платежа равна нулю, т. е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.

Выбор и осуществление одного из действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока . Ходы могут быть личными и случайными.

Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре).

Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды).

Стратегия игрока - это однозначный выбор игрока в каждой из возможных ситуаций, когда этот игрок должен сделать личный ход.

Оптимальная стратегия - это такая стратегия игрока, которая при многократном повторении игры обеспечивает ему максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш.

Платежная матрица – полученная матрица A или, иначе, матрица игр ы.

Конечной игрой размерности (m  n) называется игра, определенная матрицей А размерности (m  n).

Максимином или нижней ценой игры назовем число alpa = max(i)(min aij)(j)

а соответствующая ему стратегия (строка) максиминной .

Минимаксом или верхней ценой игры назовем число Beta = min(j)(max aij)i

а соответствующая ему стратегия (столбец) минимаксной .

Нижняя цена игры всегда не превосходит верхнюю цену игры.

Игрой с седловой точкой называется игра для которой. Alp = beta

Ценой игры называется величина, v если.v = alp = beta

Смешанной стратегией игрока называется вектор, каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии.

Теорема 2 . Основная теорема теории матричных игр.

Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях.

Т 3

Если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры  в не зависимости от того, с какими частотами будет применять второй игрок свои стратегии (в том числе и чистые стратегии).

игрой с природой – игра, в которой мы не обладаем информацией о поведении партнера

Риском r ij игрока при выборе стратегии А i в условиях H j называется разность

r ij = b j - a i ,

где b j - максимальный элемент в j - м столбце.

Графом называется совокупность непустого множества, называемого

множеством вершин графа и множества пар вершин, которые называются

ребрами графа.

Если рассматриваемые пар вершин являются упорядоченными, то граф

называется ориентированным (орграф), в противном случае –

неориентированным. В

Маршрутом (путем) в графе, соединяющем вершины А и В, называется

последовательность ребер, первое из которых выходит из вершины А, начало

последующего совпадает с концом предыдущего, а последнее ребро входит в

вершину В.

Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь,

их соединяющий. В противном случае граф называется несвязным.

Граф называется конечным, если число его вершин конечно.

Если вершина является началом или концом ребра, то вершина и ребро

называются инцидентными. Степенью (порядком) вершины называется число инцидентных ей ребер

Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе - это путь, проходящий по всем

рѐбрам графа и притом только по одному разу.

Эйлеров цикл - это эйлеров путь, являющийся циклом.

Эйлеров граф - граф, содержащий эйлеров цикл.

Полуэйлеров граф - граф, содержащий эйлеров путь (цепь).

Теорема Эйлера.

Эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда граф связный и в нѐм

отсутствуют вершины нечѐтной степени.

Теорема. Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф

связный и число вершин нечѐтной степени равно нулю или двум.

Деревом называется связный граф без циклов, имеющий исходную вершину

(корень) и крайние вершины (степени 1); пути от исходной вершины к крайним вершинам называются ветвями.

Сетью (или сетевым графиком) называется ориентированный конечный

связный граф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную вершину (сток).

Весом пути в графе будем называть сумму весов его ребер.

Кратчайшим путем из одной вершины в другую будем называть путь

минимального веса. Вес этого пути будем называть расстоянием между

вершинами.

Работа – это протяженный во времени процесс, требующий затрат ресурсов,

либо логическая зависимость между двумя или несколькими работами

Событие – результат выполнения одной или нескольких работ

Путь – это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих

начальную и конечную вершины.

Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей

составляющих его работ.

Правила составления сетевых графиков.

1. В сетевом графике не должно быть тупиковых событий (кроме

завершающего), т. е. таких, за которыми не следует ни одной работы.

2. Не должно быть событий (кроме исходного), которым не предшествует хотя

бы одна работа.

3. В сетевом графике не должно быть циклов.

4. Любые два события связаны не более, чем одной работой.

5. Сетевой график должен быть упорядочен.

Любой путь, начало которого совпадает с исходным событием, а конец – с

завершающим, называется полным путем. Полный путь, имеющий максимальную

продолжительность работ, называется критическим путем

Иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества

Описание метода анализа иерархий

Построение матриц парных сравнений

Находим лямбда макс и решаем систему относительно вектора весов

Синтез локальных приоритетов

Проверка согласованности матриц парных сравнений

Синтез глобальных приоритетов

Оценка согласованности всей иерархии

В наше время, которое по справедливости называют эпохой научно-технической революции, наука уделяет все большее внимание вопросам организации и управления. Причин этому много. Быстрое развитие и усложнение техники, небывалое расширение масштабов проводимых мероприятий и спектра их возможных последствий, внедрение автоматизированных систем управления (АСУ) во все области практики - все это приводит к необходимости анализа сложных целенаправленных процессов под углом зрения их структуры и организации. От науки требуются рекомендации по оптимальному (разумному) управлению такими процессами. Прошли времена, когда правильное, эффективное управление находилось организаторами «на ощупь», методом «проб и ошибок». Сегодня для выработки такого управления требуется научный подход - слишком велики потери, связанные с ошибками.

Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций». Под этим термином мы будем понимать применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Поясним, что понимается под «решением». Пусть предпринимается какое-то мероприятие, направленное к достижению определенной цели. У лица (или группы лиц), организующего мероприятие, всегда имеется какая-то свобода выбора: оно может организовать его тем или другим способом, например, выбрать образцы техники, которые будут применены, так или иначе распределить имеющиеся средства и т. д. «Решение» это и есть какой-то выбор из ряда возможностей, имеющихся у организатора. Решения бывают плохими и хорошими, продуманными и скороспелыми, обосно-» ванными и произвольными.

Необходимость принятия решений так же стара, как само человечество. Несомненно, уже в доисторические времена первобытные люди, отправляясь, скажем, охотиться на мамонта, должны были принимать те или другие решения: в каком месте устроить засаду? Как расставить охотников? Чем их вооружить? и т. д. Мы с вами в повседневной жизни, сами того не замечая, на каждом шагу принимаем решения. Например, выходя утром из дому, чтобы идти на работу, мы должны принять целый ряд решений: как одеться? Брать ли с собой зонтик? В каком месте перейти улицу? Каким видом транспорта воспользоваться? и т. д. Руководитель предприятия тоже должен постоянно принимать решения типа: как распорядиться имеющейся рабочей силой? Какие типы работ выполнить в первую очередь? и т. д.

Значит ли это, что, принимая подобные решения, мы занимаемся «исследованием операций»? Нет, не значит. Исследование операций начинается тогда, когда для обоснования решений применяется тот или другой математический аппарат. До поры до времени решения в любой области практики принимаются без специальных математических расчетов, просто на основе опыта и здравого смысла. Скажем, для решения вопроса о том, как одеться, выходя на улицу, и где ее перейти, математика не нужна, да и вряд ли потребуется в дальнейшем. Оптимизация таких решений происходит как бы сама собой, в процессе жизненной практики. Если порой принятое решение окажется не самым удачным, так что же? На ошибках учатся!

Однако бывают решения куда более ответственные. Пусть, например, организуется работа общественного транспорта в новом городе с сетью предприятий, жилыми массивами и т. д. Необходимо принять ряд решений: по каким маршрутам и какие транспортные средства направить? В каких пунктах сделать остановки? Как изменять частоту следования машин в зависимости от времени суток? и т. д.

Эти решения - гораздо сложнее, а главное, от них очень многое зависит. Неправильный их выбор может отразиться на деловой жизни целого города.

Конечно, и в этом случае при выборе решения можно действовать интуитивно, опираясь на опыт и здравый смысл (так оно нередко и делается). Но гораздо разумнее будут решения, если они подкреплены математическими расчетами. Эти предварительные расчеты помогут избежать длительного и дорогостоящего поиска нужного решения «на ощупь».

Возьмем еще более яркий пример. Пусть речь идет о каком-то очень крупномасштабном мероприятии - скажем, об отведении части стока северных рек в засушливые зоны. Допустимо ли здесь произвольное, «волевое» решение, могущее привести к серьезным отрицательным последствиям, или же необходима серия предварительных расчетов по математическим моделям? Думается, что здесь двух мнений быть не может - необходимость тщательных, многосторонних расчетов очевидна.

«Семь раз примерь, один - отрежь», - говорит пословица. Исследование операций как раз и есть своеобразное математическое «примеривание» будущих решений, позволяющее экономить время, силы и материальные средства, избегать серьезных ошибок, на которых уже нельзя «учиться» (слишком дорого это обходится).

Чем сложнее, дороже, масштабнее планируемое мероприятие, тем менее допустимы в нем «волевые» решения и тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные; установить, достаточна ли имеющаяся у нас информация для правильного выбора решения, и если нет - какую информацию нужно получить дополнительно. Слишком опасно в таких случаях опираться на свою интуицию, на «опыт и здравый смысл». В нашу эпоху научно-технической революции техника и технология меняются настолько быстро, что «опыт» просто не успевает накапливаться. К тому же часто идет речь о мероприятиях уникальных, проводимых впервые. «Опыт» в этом случае молчит, а «здравый смысл» легко может обмануть, если не опирается на расчет: Такими расчетами, облегчающими людям принятие решений, и занимается исследование операций.

Как уже говорилось, это - сравнительно молодая наука (хотя понятие «молодости» в научном мире относительно; многие, едва возникшие науки «истлевают на коршо», так и не найдя приложений).

Впервые название «исследование операций» появилось в годы второй мировой войны, когда в вооруженных силах некоторых стран (США, Англии) были сформированы специальные группы научных работников (физиков, математиков, инженеров), в задачу которых входила подготовка проектов решений для командующих боевыми действиями. Эти решения касались главным образом боевого применения оружия и распределения сил и средств по различным объектам. Подобного рода задачами (правда, под иными названиями) занимались и ранее, в частности, в нашей стране. В дальнейшем исследование операций расширило область своих применений на самые разные области практики: промышленность, сельское хозяйство, строительство, торговля, бытовое обслуживание, транспорт, связь, здравоохранение, охрана природы и т. д. Сегодня трудно назвать такую область практики, где бы не применялись, в том или другом виде, математические модели и методы исследования операций.

Чтобы познакомиться со спецификой этой науки, рассмотрим ряд типичных для нее задач. Эти задачи, намеренно взятые из самых разных областей практики, несмотря на некоторую упрощенность постановки, дают все же понятие о том, каков предмет и каковы цели исследования операций.

1. План снабжения предприятий Имеется ряд предприятий, потребляющих известные виды сырья, и есть ряд сырьевых баз, которые могут поставлять это сырье предприятиям. Базы связаны с предприятиями какими-то путями сообщения (железнодорожными, водными, автомобильными, воздушными) со своими тарифами. Требуется разработать такой план снабжения предприятий сырьем (с какой базы, в каком количестве и какое сырье доставляется), чтобы потребности в сырье были обеспечены при минимальных расходах на перевозки.

2. Постройка участка магистрали. Сооружается участок железнодорожной магистрали. В нашем распоряжении - определенное количество средств: людей, строительных машин, ремонтных мастерских, грузовых автомобилей и т. д.

Требуется спланировать строительство (т. е. назначить очередность работ, распределить машины и людей по участкам пути, обеспечить ремонтные работы) так, чтобы оно было завершено в минимально возможный срок.

3. Продажа сезонных товаров. Для реализации определенной массы сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать разумным образом: число точек, их размещение, товарные запасы и количество персонала на каждой из них так, чтобы опеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.

4. Снегозащита дорог. В условиях Крайнего Севера метели, заносящие снегом дороги, представляют серьезную помеху движению. Любой перерыв движения приводит к экономическим потерям. Существует ряд возможных способов снегозащиты (профиль дороги, защитные щиты и т. д.), каждый из которых требует известных затрат на сооружение и эксплуатацию. Известны господствующие направления ветров, есть данные о частоте и интенсивности снегопадов. Требуется разработать наиболее эффективные экономически средства снегозащиты (какую из дорог, как и чем защищать?) с учетом потерь, связанных с заносами.

5. Противолодочный рейд. Известно, что в некотором районе морского театра военных действий находится подводная лодка противника. Группа самолетов противолодочной обороны получила задание: разыскать, обнаружить и уничтожить лодку. Требуется рационально организовать операцию (рейд): выбрать маршруты самолетов, высоту полета, способ атаки так, чтобы с максимальной уверенностью обеспечить выполнение боевого задания.

6. Выборочный контроль продукции. Завод выпускает определенного вида изделия. Для обеспечения их высокого качества организуется система выборочного контроля. Требуется разумно организовать контроль (т. е. выбрать размер контрольной партии, набор тестов, правила браковки и т. д.) так, чтобы обеспечить заданный уровень качества при минимальных расходах на контроль.

7. Медицинское обследование. Известно, что в каком-то районе обнаружены случаи опасного заболевания. С целью выявления заболевших (или носителей инфекции) организуется медицинское обследование жителей района.

На это выделены материальные средства, оборудование, медицинский персонал. Требуется разработать такой план обследования (число медпунктов, их размещение, последовательность осмотров специалистами, виды анализов и т. д.), который позволит выявить, по возможности, максимальный процент заболевших и носителей инфекции.

8, Библиотечное обслуживание. Крупная библиотека обслуживает запросы, поступающие от абонентов. В фондах библиотеки имеются книги, пользующиеся повышенным спросом, книги, на которые требования поступают реже и, наконец, книги, почти никогда не запрашиваемые. Имеется ряд возможностей распределения книг по стеллажам и хранилищам, а также по диспетчеризации запросов с обращениями в другие библиотеки. Нужно разработать такую систему библиотечного обслуживания, при которой запросы абонентов удовлетворяются в максимальной мере.

Число примеров легко было бы умножить, но и приведенных достаточно, чтобы представить себе характерные особенности задач исследования операций. Хотя примеры относятся к самым различным областям, в них легко просматриваются общие черты. В каждом из них речь идет о каком-то мероприятии, преследующем определенную цель. Заданы некоторые условия, характеризующие обстановку (в частности, средства, которыми мы можем распоряжаться). В рамках этих условий требуется принять такое решение, чтобы задуманное мероприятие было в каком-то смысле наиболее выгодным.

В соответствии с этими общими чертами вырабатываются и общие приемы решения подобных задач, в совокупности составляющие методологическую схему и аппарат исследования операций.

Внимательный читатель, знакомясь с приведенными выше примерами, вероятно, заметил, что не для всех из них на практике применяются математические методы обоснования решений; в некоторых случаях решения принимаются по старинке, на глаз. Однако с течением времени доля задач, где для выбора решения применяются математические методы, постоянно растет. Особенно большую роль приобретают эти методы по мере внедрения АСУ (автоматизированных систем управления) во все области практики.

Создание АСУ (если она применяется для управления, а не только для сбора и обработки информации) невозможно без предварительного обследования управляемого процесса методами математического моделирования. С ростом масштабов и сложности мероприятий математические методы обоснования решений приобретают все большую роль. Работа небольшого аэродрома вполне может быть обеспечена силами одного опытного диспетчера; работа крупного аэропорта требует автоматизированной системы управления, работающей согласно четкому алгоритму. Выработка такого алгоритма всегда основывается на предварительных расчетах, т. е. на исследовании операций.

Определяются Уставом образовательного учреждения.

2. Лицензирование - это процедура установления соответствия условий осуществления образовательного процесса нормативным требованиям, предъявляемым к материально-техническому, кадровому обеспечению, санитарно-противопожарному состоянию образовательного учреждения.

3. Утверждение Типового положения об образовательном учреждении входит в компетенцию Министерства образования Российской Федерации.

4. Устав образовательного учреждения - это организационный документ.

5. Кем разрабатывается и принимается новая редакция устава образовательного учреждения - образовательным учреждением.

6. Кто определяет содержание обязательной части устава образовательного учреждения?Закон РФ «Об образовании».

7. Кто устанавливает структуру управления деятельностью образовательного учреждения - органы управления образованием.

8. По соглашению между работником и работодателем ежегодный оплачиваемый отпуск может быть разделен на части. На сколько частей допускается деление отпуска и возможен ли отзыв работника из отпуска - на несколько частей, но при этом необходимо, чтобы хотя бы одна из них была не менее 14 календарных дней. Отзыв из отпуска возможен.

9. Предоставлено ли право педагогическим работникам самостоятельно выбирать методики обучения и воспитания Да.

10. Система - это совокупность множества элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, образующих определенную целостность, единство.

11. Управление - это элемент, функция организованных систем различной природы, обеспечивающий сохранение их определенной структуры, поддержание режима жизнедеятельности, реализацию их программы и целей.

12. Планирование как функция управления - это деятельность участников образовательного процесса по оптимальному выбору реальных целей, программ их достижения посредством совокупности способов, средств и воздействий.

13. Организация как функция управления - это процесс реализации планов, координация действий отдельных элементов педагогической системы, достижение взаимного соответствия функционирования ее частей.

14. Педагогический менеджмент - этокомплекс принципов, методов, организационных форм и технологических приемов управления, направленный на повышение эффективности их функционирования и развития.

15. Управление педагогическим процессом как составная часть педагогического менеджмента - это деятельность, в которой ее субъекты посредством планирования, организации, руководства и контроля обеспечивают ее направленность на достижение образовательных целей.

16. Отправная точка в структуре стратегического менеджмента - это цели.

17. «Миссия» образовательного учреждения - это социальный заказ учреждению вышестоящих органов.

18. Концепция образовательного учреждения - этосистема взглядов, комплекс основополагающих идей, принципов, правил.

19. Система исследовательских операций, направленных на выявление причин, определяющих результаты педагогического процесса педагогический анализ.

20. Деятельность по выбору реальных целей, программ их достижения через совокупность способов, средств и воздействий - это функция планирования.

21. Органом внутришкольного управления, определяющим цели и задачи развития школы, направления учебно-воспитательного процесса, формы и методы его организации, является какой совет педагогический.

22. Законодательный документ, устанавливающий приоритет государственной политики в области образования, стратегию и основные направления его развития, - это Закон РФ об образовании.

23. Главным структурным элементом системы образования в РФ являются Образовательные учреждения.

24. Какой орган управления в полном составе собирается один-два раза в год и решает стратегические вопросы: основные направления развития, пути повышения качества учебно-воспитательного процесса, определяют язык обученияКонференция.

25. Высшим руководящим органом школы является Конференция.

26. В период между конференциями в роли высшего руководящего органа выступает Совет школы.

27. Определение, по функциям управленческой информации к какому признаку относятаналитическая, оценочная, конструктивная, организационная.

28. Система образования в РФ представляет собой совокупность систем образовательных программ и государственных образовательных стандартов, образовательных учреждений и органов управления образованием.

29. Определите, к какому уровню структуры управления школ относится учителя, воспитатели, классные руководители, выполняющие управленческие функции по отношению к учащимся и родителям, детским объединениям, кружкам в системе внеучебной деятельности Третий уровень.

30. Определите, к какому уровню структуры управления школ относится заместители директора школы, школьный психолог, социальный педагог, ответственный за организацию общественно полезного труда, старшие вожатые, помощник директора школы по административно-хозяйственной работе, а также органы и объединения, участвующие в самоуправленииВторой уровень.

31. Является организационно-управленческим проектом, содержание которого определяется как общими принципами государственной политики в сфере образования, так и объективными данными результатов проведенного анализа состояния, тенденций и перспектив развития образования Федеральная программа развития образования.

32. Определите, к какому принципу управления педагогическими системами относится целостность, наличие структуры, интегративности между компонентамисистемность и целостность.

33. Определите, к какому принципу управления педагогическими системами относится четкое разграничение и соблюдение полномочий участников педагогического процесса единство единоначалия и коллегиальности.

34. Определите, к какому принципу управления педагогическими системами относится приоритетные ценностей самой личности в решении управленческих задачдемократизация и гуманизация.

35. Создание, реорганизация, ликвидация муниципальных образовательных учреждений относится к компетенции каких органов управления - Органов государственной власти республик, краев, областей в составе РФ.

36. Вид контроля, направленный на углубленное изучение какого-либо конкретного вопроса в системе деятельности педагогического коллектива, группы учителей или отдельного учителя; на младшей или старшей ступени школьного обучения; в системе нравственного или эстетического воспитания школьников - это Тематический контроль.

37. Вид контроля, направлен на всестороннее изучение деятельности педагогического коллектива, методического объединения или отдельного учителя Фронтальный контроль.

38. В структуру какого компонента управленческой культуры руководителя школы входит усвоение новых теорий и концепций управления, владение умениями и навыками, и в зависимости от степени их приложения в практической деятельности они оцениваются им как более или менее значимые Аксиологический компонент.

39. Технологический компонент управленческой культуры директора школы включает в себя способы и приемы управления педагогическим процессом.

40. Создание объективной ситуации, при которой возможно максимальное и разностороннее развитие личности, самореализация ее творческих возможностей - это планирование.

41. Создание объективной ситуации, которая предусматривает переход к комплексно-целевому планированию, позволяющему разрабатывать комплексные целевые программы, направленные на достижение генеральной цели целеполагание.

42. Какой план составляется, как правило, на учебную четверть и является конкретизацией общешкольного годового плана - Текущий.

43. Какой план составляется, как правило, на учебный год, включая летние каникулы?Годовой.

44. Совокупность учебно-воспитательных учреждений, предназначенных для осуществления обучения и воспитания населения каждой отдельной страны - это система образования.

45. Юридическое лицо, осуществляющее образовательный процесс и обеспечивающее образование и воспитание обучающихся - это образовательные учреждения.

46. Деятельность, направленная на обеспечение федеральной программы развития образования - это система образования.

47. Типовое положение о соответствующих типах и видах общеобразовательных учреждений - это устав образовательного учреждения.

48. Принцип государственной политики в области образования, в основе которого лежит приоритет общечеловеческих ценностей, жизни и здоровья человека, свободного развития личности - это гуманистический характер образования.

49. Принцип государственной политики в области образования, в основе которого лежит государственно-общественный характер управления образованием - это демократический характер образования.

50. Принцип государственной политики в области образования, в основе которого лежит защита системой образования национальных культур и региональных культурных традиций в условиях многонационального государства - это единство федерального культурного и образовательного пространства.

51. Принцип государственной политики в области образования, в основе которого лежит адаптивность системы образования к уровням и особенностям развития и подготовки обучающихся, воспитанников - это общедоступность образования.

52. К образовательным учреждениям относят государственные, муниципальные, частные, дошкольные, общеобразовательные, профессиональные, для детей сирот.

53. К органам управления относят федеральные, ведомственные, республиканские.

54. Образовательные программы, реализующиеся в РФ общеобразовательные и профессиональные.

55. В структуру общеобразовательных программ входят следующие программы среднего профессионального образования, основного общего образования, среднего (полного) общего образования.

56. В структуру профессиональных программ входят следующие программы начального, среднего, высшего и послевузовского образования.

Лекция 4. Методы исследования операций как инструменты обоснования логистических решений

Исследование операций – это составная часть методологии синтеза, анализа и оптимизации логистических систем. Исследование операций заключается в применении математических методов для обоснования решений задач во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Методы и модели исследования операций позволяют получить решения, наилучшим образом отвечающие целям организации.

Основной постулат исследования операций состоит в том, что оптимальным решением (управлением) является такой набор значений переменных, при котором достигается оптимальное (максимальное или минимальное) значение критерия эффективности (целевой функции) операции и соблюдаются заданные ограничения. Предметом исследования операций в логистике являются задачи принятия оптимальных решений в логистической системе с управлением на основе оценки эффективности ее функционирования. При этом следует учитывать следующие обстоятельства.

При анализе причин и условий возникновения идеи образования логистических систем и цепей в сервисе за отправной пункт целесообразно принять теорию издержек, связанных с заключением сделок.

Например, согласно этой теории, для фирмы, оказывающей экскурсионные услуги, стратегия найма экскурсионных автобусов будет более выгодной, чем ориентация на создание собственного парка автотранспортных средств. Это может быть обусловлено тем, что внутрифирменные издержки на их приобретение, эксплуатацию, обслуживание и хранение больше, чем издержки внешнего поставщика.

Если бы не существовало дополнительных издержек, связанных со сделками по поводу внешних поставок услуг, сервисным организациям не приходилось бы сосредоточивать все этапы оказания комплексной услуги (например, автобусной экскурсии) под одной крышей. Экскурсионные фирмы могли бы воспользоваться преимуществами логистической интеграции (с транспортными предприятиями, переводчиками, организациями питания) и проявлять большую гибкость в случае необходимости смены поставщиков. Когда же издержки, связанные со сделками, высоки, фирмы предпочитают интегрировать все виды деятельности, которые можно было бы в других условиях передать субподрядчикам.

Таким образом, можно исходить из того, что одной из главных задач логистической системы сервисной организации является снижение конечных издержек по производству продукции и услуг (независимо от того, выполняются ли все операции по оказанию услуг внутри фирмы или за ее пределами).

При внутрифирменном оказании комплексной услуги (например, экскурсия, включающая посещение исторических памятников архитектуры, услуги переводчика, транспортные услуги или др.) возникают внутренние издержки (А). В ситуации, когда некоторые составные части комплексной услуги выполняются сторонними организациями, образуются внешние издержки (В). Объективно это цена, назначаемая за составные части комплексной услуги сторонней организацией. К этой сумме необходимо прибавить издержки, связанные с реализацией сделки (С). В результате, совокупные внешние издержки для фирмы составят В + С. Допустим, что они будут больше цены, назначаемой сторонними организациями. Вполне понятно, что рассматриваемые услуги выгоднее оказывать самой фирме фирмы, если В+ С>А.

Внутреннее производство услуг (или осуществление транспортных перевозок собственными силами, организация собственной системы погрузочно-разгрузочных операций и складирования товаров в торговой организации) может оказаться более выгодным даже тогда, когда В < А. При этом следует иметь ввиду что величина С зависит от ряда факторов - уникальности товаров, размера партий или объема транспортных работ, по которым заключаются сделки и т. д.).

Если предположить, что выполнением некоторых мероприятий могут быть снижены затраты С настолько, что В + С<А, то отпадает необходимость внутрифирменного оказания комплексной услуги. Благодаря этому сервисная организация может стать более эффективной, чем ее конкуренты. В этом заключается основа экономической эффективности логистического межфирменного соглашения. Сервисная организация, становясь центром логистической цепи, значительно снижает свои издержки благодаря экономии, обеспечиваемой сотрудничеством с другими предприятиями (организациями, фирмами).

Типовыми задачами исследования операций в сервисной деятельности являются:

задачи распределения ресурсов;

задачи управления запасами;

задачи сетевого планирования сложных проектов;

задачи выбора маршрута;

задачи массового обслуживания;

задачи упорядочения.

Распределительные задачи в сервисе возникают в ситуациях, когда имеющихся ресурсов недостаточно для оказания каждой из намеченных услуг эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы для оказания конкретных услуг в соответствии с принятым критерием оптимальности. Например, требуется распределить парикмахеров для выполнения услуг в мужской и женский залы парикмахерской. Методы решения задач распределения ресурсов позволяют:

распределять ресурсы между услугами (работами) таким образом, чтобы максимизировать прибыль или минимизировать затраты;

определять такой состав услуг (работ), который можно выполнить, используя имеющиеся ресурсы, и при этом достичь максимума определенной меры эффективности;

определить, какие ресурсы необходимы для того, чтобы выполнить заданные работы с наименьшими издержками.

Примером распределительной задачи является разработка плана поставок бензина и дизтоплива на заправочные станции компании. Имеется ряд заправочных станций, реализующих известные виды горючего. Есть совокупность нефтеперерабатывающих компаний (или нефтебаз), которые могут поставлять горючее на автозаправочные станции. Нефтебазы связаны с предприятиями дорогами неодинаковой протяженности. Известны тарифы на перевозки горючего. Необходимо разработать такой план поставок горючего (с какой базы, в каком количестве и какое горючее доставлять на каждую заправку), чтобы потребности в бензине и дизтопливе были удовлетворены с минимальными расходами.

Задачи ремонта и замены оборудования заключаются в том, что любое оборудование на предприятии сервиса (автомобили-такси, швейные машины, стиральные машины и т.д.) со временем изнашивается и стареет, и поэтому требует своевременного предупредительного или восстановительного ремонта либо полной замены на новое оборудование.

Задачи, связанные с оптимизацией издержек по ремонту и замене оборудования в сервисной организации позволяют определить сроки ремонта и замены оборудования, обеспечивающие минимизацию затрат на эти цели.

Задачи управления запасами в сервисе имеют место тогда, когда сервисная организация не в состоянии функционировать без производственных или товарных запасов. Это вызвано тем, что их отсутствие может привести к простоям предприятия, штрафам, потере клиентов и даже катастрофам.

Решение задач управления запасами в сервисной организации дает возможность определить оптимальные размеры заказа на закупку или производство товаров, сроки поставок заказов, объема материальных запасов, моментов подачи заказа на товары. При этом целью управления запасами является минимизация общих затрат на закупку, производство, доставку и хранение товара. К задачам управления запасам относятся также задачи о том, что выгоднее производить товар или закупать его;

выгодно ли пользоваться скидками на покупку товара и т.п.

Методы решения задач сетевого планирования сложных проектов используются при строительстве и реконструкции каких-либо крупных объектов сервиса (например, объектов придорожного сервиса); выполнение научно-исследовательских и конструкторских работ в сервисной деятельности; подготовке предприятия сервиса (гостиничного комплекса) к оказанию услуг; проведении исследований логистических систем в сервисе.

Применение сетевых моделей позволяет:

разработать сетевой график, представляющий взаимосвязи работ проекта и обеспечивающий возможность детального анализа всех работ с целью улучшения технологии их выполнения до начала реализации проекта;

построить календарный план работ, определяющий моменты начала и окончания каждой из них, минимальные сроки выполнения проекта, критические работы; резервы времени выполнения некритических работ. На этой основе может оптимизироваться распределение ресурсов по работам и сокращаться сроки их выполнения.

Задачи маршрутизации заключаются в определении некоторого маршрута доставки грузов и пассажиров по сети транспортных коммуникаций. Необходимо определить наиболее экономичный маршрут по критерию времени, расстояния или стоимости проезда. При определении маршрутов могут быть введены ограничения на возврат к уже пройденному пути (задача о выборе кратчайшего пути), требование обхода всех пунктов на транспортной сети с посещением каждого из ни не более одного раза (задача коммивояжера).

Задачи массового обслуживания позволяют решать вопросы удовлетворения заявок на обслуживание клиентов из очередей. Основными причинами очередей является стохастический нестационарный спрос на обслуживание. Примерами подобного рода ситуаций служат очереди автомобилей на таможенных пунктах, больных в поликлиниках и т.д.

При этом методы решения задач массового обслуживания позволяют определить, какое количество звеньев логистической системы необходимо, чтобы свести к минимуму суммарные издержки от несвоевременного обслуживания и простоев обслуживающего оборудования и персонала.

Задачи упорядочения состоят в определении такой очередности оказания услуг на предприятии сервиса, при которой минимизируется суммарная продолжительность всех работ по оказанию услуг. Кроме этого может минимизироваться общее время запаздывания оказания услуг. В качестве примера можно привести определение последовательности химчистки различных предметов одежды на одной машине или покраски нескольких автомобилей на предприятии автосервиса в одной покрасочной камере.

Рассмотрим основные методы исследования операций, позволяющие находить наиболее эффективные решения при исследовании и оптимизации логистических систем в сервисе.

Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования широко используются для решения распределительных задач.

Линейное программирование (ЛП) – является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования. В нем рассматриваются задачи, у которых показатель оптимальности представляет собой линейную функцию от переменных задачи, а ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Соответственно нелинейное программирование рассматривает задачи с нелинейными целевыми функциями и ограничениями.

Задачи, решаемые с помощью сетевого моделирования (теория графов), могут быть сформулированы и решены методами линейного программирования, но специальные сетевые алгоритмы позволяют решать их более эффективно. Примеры: задачи нахождения кратчайшего пути, критического пути, максимального потока, минимизации стоимости потока в сети с ограниченной пропускной способностью и др.

Целевое программирование представляет собой методы решения задач линейного программирования с несколькими целевыми функциями, которые могут конфликтовать друг с другом.

Целочисленное линейное программирование используется для решения задач, у которых все или некоторые переменные должны принимать целочисленные значения.

Динамическое программирование предполагает разбиение задачи на несколько этапов, каждый из которых представляет собой подзадачу относительно одной переменной и решается отдельно от других подзадач.

Аппарат теории вероятностей используется во многих задачах исследования операций, например, для прогнозирования(регрессионный и корреляционный анализ), вероятностного управления запасами, моделирования систем массового обслуживания, имитационного моделирования и др.

Методы моделирования и прогнозирования временных рядов позволяют выявить тенденции изменения фактических значений параметра Y во времени и прогнозировать будущие значения Y.

Теория игр и принятия решений рассматривает процессы выбора наилучшей из нескольких альтернатив в ситуациях определенности (данные известны точно), в условиях риска (данные можно описать с помощью вероятностных распределений), в условиях неопределенности (вероятностное распределение либо неизвестно, либо не может быть определено).

Методы и модели теории нечетких множеств позволяют в математической форме представить и использовать для принятия решений субъективную словесную экспертную информацию: предпочтения, правила, оценки значений количественных и качественных показателей.

По ране указанным причина наибольшее применение в логистике сервисной деятельности нашли методы линейного и блочно-линейного программирования.

Методы блочного линейного программирования имеют ряд положительных свойств, обусловливающих потенциальную возможность их использования для управления эффективностью организационного проектирования и развития предприятий сферы услуг. Рассмотрим эти свойства.

1. Формирование предприятий и организаций сферы услуг на основе методов блочного линейного программирования позволяет учесть многообразие оказываемых ими услуг и выполняемых работ (в.т.ч., связанных с видами обеспечения действий самих организаций), а также условий деятельности. Решение подобной задачи большой размерности другими способами невозможно из-за практически невыполнимого объема вычислений. При применении метода декомпозиции проблема перестает быть принципиально неразрешимой и сводится только к продолжительности расчета, т.е. в итоге к эффективности применяемой ЭВМ.

2. Постановка задачи создания организационной структуры в виде задачи линейного программирования снимает проблему многокритериальности, свойственную сервисным компаниям. Это очень важно, т.к. постановка задачи как многокритериальной применительно к организационным структурам (что означает выбор варианта оргструктуры компании превосходящего любой другой вариант по всем показателям) ведет к ее неразрешимости и, вообще, говорит об абсурдности такого подхода.

Действительно, в большинстве случаев для организационных структур предприятий сферы услуг имеется возможность количественного соизмерения многих целей (либо через затраты, либо через прибыль и различные модификации этих критериев). При этом часть целей, обусловленных требованиями к организационным структурам, может выступать в форме ограничений. Данное обстоятельство позволяет свести многокритериальную задачу к однокритериальной и, тем самым, выбрать оптимальный (в рассматриваемых условиях) вариант организационной структуры. Сказанное полностью согласуется с сущностью оптимизации, которая имеет смысл лишь для однокритериальных задач, либо для случаев сведения нескольких критериев к одному "синтетическому" (например, с учетом значимости критериев с помощью их "весов" или "методом уступок").

3. Возможность моделей линейного программирования уйти от излишней детализации и одновременно описать все основные свойства (функции) организационной структуры (необходимые для достижения ее целей) обеспечивают простоту, удобство и общность их использования, что очень важно для многопрофильных и специализированных организационных структур сервисных компаний. При этом, несмотря на существенные специфические особенности видов деятельности отдельных структурных подразделений сервисной организации, можно разработать единую методику создания модели их формирования и функционирования.

4. Свойство динамичности линейных моделей обеспечивает возможность анализа эффективности принятого варианта оргструктуры сервисной организации при возможных изменениях заданных условий функционирования. Методы и возможности такого анализа достаточно широко изложены в литературе и останавливаться на них здесь не имеет смысла. Скажем лишь, что применение этих методов позволяет не только изучить зависимость принятого (рассчитанного по модели) варианта оргструктуры от вариации параметров условий и тем самым определить мероприятия эффективного развития логистической системы сервисной организации, но и существенно сократить вычисления по сравнению с другими методами решения динамических задач.