Равнобедренный треугольник - это треугольник , в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя - основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
Свойства
- Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы , медианы и высоты , проведённые из этих углов.
- Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
- Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).
Пусть a - длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b - длина третьей стороны, α и β - соответствующие углы, R - радиус описанной окружности , r - радиус вписанной .
Стороны могут быть найдены следующим образом:
Углы могут быть выражены следующими способами:
Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:
Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:
(формула Герона).Признаки
- Два угла треугольника равны.
- Высота совпадает с медианой.
- Высота совпадает с биссектрисой.
- Биссектриса совпадает с медианой.
- Две высоты равны.
- Две медианы равны.
- Две биссектрисы равны (теорема Штейнера - Лемуса).
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Равнобедренный треугольник" в других словарях:
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, имеющий две равные по длине стороны; углы при этих сторонах также равны … Научно-технический энциклопедический словарь
И (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова
РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ая, ое: равнобедренный треугольник имеющий две равные стороны. | сущ. равнобедренность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
треугольник - ▲ многоугольник имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка
треугольник - ТРЕУГОЛЬНИК1, а, м чего или с опр. Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Она перебирала письма мужа пожелтевшие фронтовые треугольники. ТРЕУГОЛЬНИК2, а, м… … Толковый словарь русских существительных
У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Треугольник (многоугольник) - Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Энциклопедический словарь
треугольник - а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… … Словарь многих выражений
А; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь
Равносторонний треугольник по определению не является равнобедренным, так как в равнобедренном треугольнике равны между собой только две стороны, а в равностороннем – все стороны равны между собой. Равносторонний треугольник является только частным случаем равнобедренного, но отличается от него. Чтобы построить равносторонний треугольник достаточно знать длину только одной стороны, а для построения равнобедренного надо знать длины двух сторон. Определение равнобедренного треугольника приведенное Лейбом абсолютно правильное.
Naitkin Reply:
Октябрь 17th, 2014 at 16:03
А=”Равносторонний треугольник по определению не является равнобедренным”
В=”Равносторонний треугольник является только частным случаем равнобедренного”,
Эти два выражения не могут быть истинны одновременно.
Вячеслав Reply:
Октябрь 18th, 2014 at 13:54
В реальности оба выражения истинны. Это наглядно видно из рисунка 7 vasil stryzhak. Всё множество треугольников равнобедренные, включая красный равносторонний, что соответствует выражению В. Но только один (красный) равносторонний является исключением из множества равнобедренных, и поэтому не может называться только равнобедренным. Для определения треугольника с равными сторонами недостаточно сказать, что он равнобедренный. Это особый вид, не являющийся только равнобедренным, и у него есть специальное название.
Naitkin Reply:
Октябрь 19th, 2014 at 9:36
“Только” равно бедренным, он (равносторонний) естественно не является. Но равнобедренным, он при этом является. Равносторонний треугольник “получается” из равнобедренного не теряя ни одного из свойств равнобедренного. А значит
C = “равносторонний треугольник является равнобедренным”, и
D = “равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного.”
это идентичные высказывания (C=D).
Приведи пример, какое свойство равнобедренный треугольник теряет (именно теряет! [Если приобретает, то все свойства равнобедренного в нём остаются]) и становится равносторонним?
(Только 2 стороны равны, напомню, это не свойство. Это из определения. А раз мы дискутируем об определениях как раз, то нам необходимо вообще абстрагироваться от определений. Не принимать во внимание определения вообще и понять что же такое равнобедренный и равносторонний треугольники. Выясним, какого же определение, зная только свойства.)
Вячеслав Reply:
Октябрь 19th, 2014 at 21:13
О каких свойствах можно говорить без определений? Разве равенство двух сторон в равнобедренном треугольнике следует не из его определения?. Почему нужно приводить пример свойства равнобедренного треугольника, которое он теряет, становясь равносторонним? Нельзя потерять то, чего не имеешь. Равнобедренный треугольник не имеет третьей равной стороны и этого свойства он потерять не может.
Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Докажем одну из них, например теорему 2.5.
Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD - биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD - общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD - биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.
С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).
Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке .
Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.
Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Решение. Пусть р - серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О - середина отрезка АВ (см. рис. 3).
Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.
Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.
Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.
Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).
Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.
Найти угол D.
Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС - общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.
Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
Видео-решение.
Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части. А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в , а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники. И прежде всего, что же такое - равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?
Посмотри, как это выглядит:
Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона - основанием .
И снова внимание на картинку:
Может быть, конечно, и так:
Так что будь внимательным: боковая сторона - одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание - третья сторона.
Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?
Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.
Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.
Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:
Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть - нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.
Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.
Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:
И, значит, ! Почему? Да мы просто найдём и, и из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что)
Удостоверились? Ну вот, теперь у нас
А уж по трём сторонам - самый легкий (третий) признак равенства треугольников.
Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.
Видишь, как интересно? Получилось, что:
Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:
(Вспоминаем тут, что медиана - линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса - угол.)
Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?
И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?
Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:
Если совпадают высота и биссектриса, то:
Если совпадают биссектриса и медиана, то:
Ну вот, не забывай и пользуйся:
- Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
- Если дано, что два угла равны , то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….(Дом, который построил Джек…).
- Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник - равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
- Если оказалось, что высота разделила угол полам - тоже равнобедренный!
- Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана - угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике
Давай посмотрим, как выглядит в задачах.
Задача 1 (самая простая)
В треугольнике стороны и равны, а. Найти.
Решаем:
Сначала рисунок.
Что здесь - основание? Конечно, .
Вспоминаем, что если, то и.
Обновлённый рисунок:
Обозначим за. Чему там равна сумма углов треугольника? ?
Пользуемся:
Вот и ответ: .
Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.
Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему )
В треугольнике, . Найти.
Решаем:
Треугольник-то - равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).
Теперь «вычёркиваем из жизни» , рассмотрим только.
Итак, в имеем:
Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)
Осталось найти: .
Ответ: .
Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы , «Равнобедренный треугольник» и в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.
Равнобедренный треугольник. Средний уровень.
Эти две равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона - основание равнобедренного треугольника.
Посмотри на рисунок: и - боковые стороны, - основание равнобедренного треугольника.
Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки высоту.
Значит, у них равны все соответствующие элементы.
Всё! Одним махом (высотой) доказали сразу все утверждения.
И ты запомни : чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Верны и обратные утверждения:
Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».
1. Итак, пусть в оказались равны и.
Проведём высоту. Тогда
2. a) Теперь пусть в каком-то треугольнике совпадают высота и биссектриса .
2. б) А если совпадают высота и медиана ? Все почти так же, ничуть не сложнее!
 |
- по двум катетам |
2. в) А вот если нет высоты , которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!
Но выход есть - читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.
Подытожим:
- Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
- Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник - равнобедренный.
Равнобедренный треугольник. Краткое описание и основные формулы
Равнобедренный треугольник - треугольник, у которого есть две равные стороны.
Признаки равнобедренного треугольника:
- Если в некотором треугольнике два угла равны , то он - равнобедренный.
- Если в некотором треугольнике совпадают
:
а) высота и биссектриса или
б) высота и медиана или
в) медиана и биссектриса ,
проведённые к одной стороне, то такой треугольник - равнобедренный.
