Первый признак параллелограмма. Параллелограмм

Доказательство

Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .

Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:

AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).

И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .

Доказано!

2. Противоположные углы тождественны.

Доказательство

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Доказано!

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.

Доказательство

Проведем еще одну диагональ.

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).

Доказано!

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?

\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .

Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .

По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .

Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).

Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ} . Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .

И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC .

При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.

AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.

Доказательство

BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .

Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .

Четвертый признак верен.

I. Если две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Задача 1. Из вершин В и D параллелограмма АBCD, у которого АВ≠ ВС и угол А — острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой АС. Докажите, что четырехугольник BMDK — параллелограмм.

Доказательство.

Так как ВК и DM перпендикулярны одной и той же прямой АС, то ВК II DM. Кроме того, ВК и DM являются высотами, проведенными в равных треугольниках Δ АВС и Δ CDA из вершин равных углов ∠B и ∠D к одной и той же стороне АС, следовательно, ВК = DM. Имеем: две стороны ВК и DM четырехугольника BMDK параллельны и равны, значит, BMDK – параллелограмм, что и требовалось доказать.

II. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Задача 2. На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Доказательство.

1. По условию в четырехугольнике ABCD противоположные стороны состоят из равных отрезков, поэтому равны, т.е. AD=BC, AB=CD. Следовательно, ABCD – параллелограмм.

2. Рассмотрим Δ MBN и Δ PDQ. BM=DP и BN=DQ по условию. ∠B =∠D как противолежащие углы параллелограмма ABCD. Значит, Δ MBN = Δ PDQ по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников). А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Отсюда MN=PQ. Мы доказали, что противоположные стороны MN и PQ четырехугольника MNPQ равны. Аналогично, из равенства треугольников Δ MAQ и Δ PCN следует равенство сторон MQ и PN, которые являются противоположными сторонами четырехугольника MNPQ. Имеем: противоположные стороны четырехугольника MNPQ попарно равны. Следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм. Задача решена.

III. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Задача 3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, Докажите, что четырехугольник MNPQ, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Доказательство.

По свойству диагоналей параллелограмма ABCD его диагонали AC и BD точкой пересечения делятся пополам, т.е. ОА=ОС и ОВ=OD. Диагонали четырехугольника MNPQ так же пересекаются в точке О, которая будет серединой каждой их них. Действительно, так как вершины четырехугольника MNPQ по условию являются серединами отрезков ОА, ОС, ОВ и OD, то BN=ON=OQ=DQ и AM=OM=OP=CP. Следовательно, диагонали MP и NQ четырехугольника MNPQ в точке пересечения делятся пополам, следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Теорема: Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. противоположные его углы равны;
2. противоположные его стороны попарно равны;
3. его диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4. две его противоположные стороны параллельны и равны.

Доказательство:

A. Пусть в четырехугольнике KLMN углы К и М равны друг другу и равны а, пусть также равны друг другу и равны р углы L и N (рисунок). Учитывая, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Учитывая, что углы К и L, равные соответственно аир, являются внутренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны. Также по углам К и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN - параллелограмм.

B. Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рисунок). Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например СЕ. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой СЕ, то стороны DE и CF параллельны. Также из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF - параллелограмм.

C. Пусть точка В пересечения диагоналей IL и КМ четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = ВМ (рисунок). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы 1MB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL параллельны. Аналогично из равенства треугольников KBI и MBL делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM - параллелограмм. Очень часто это надо знать при решении олимпиадных задачах на школьных олимпиадах.

D. Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны ОР и RQ параллельны и равны (рисунок). Проведем диагональ OQ. Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых ОР и RQ, пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны.

А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон ОР и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR - параллелограмм.