По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Определите:

1) размах вариации;

2) средний размер вклада;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсию;

5) среднее квадратическое отклонение;

6) коэффициент вариации вкладов.

Решение:

Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.

Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.

1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.

2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.

Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.

Среднее значение первого интервала будет равно:

второго - 500 и т. д.

Занесём результаты вычислений в таблицу:

Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Итого	400	-	312000

Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:

3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).

2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:

3. Полученные отклонения умножаются на частоты:

4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:

5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:

Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Итого	400	-	-	-	81280

Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.

4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:

Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:

1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).

2. Находят отклонения вариант от средней:

3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:

4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

5. Суммируют полученные произведения:

6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):

Расчёты оформим в таблицу:

Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Итого	400	-	-	-	23040000

Под средней величиной в статистике понимается обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности, выражающая его типичный уровень в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина исчисляется по качественно однороднойсовокупности единиц. Различают степенные и структурные средние.

Средняя арифметическаявеличина определяется в случае, когда общий объем изучаемого признака может быть получен, путем суммирования его индивидуальных значений. Средняя арифметическая представляет собой частное от деления общего объема данного признака в изучаемом явлении на число единиц совокупности.

Средняя гармоническая используется, когда имеются индивидуальные значения признака, общий объем явления (w=xf ), но неизвестны веса (f ).

Средняя геометрическая применяется при расчете средних темпов роста.

Средняяквадратическая применяется в тех случаях, когда в исходной информации осредняемые величины представлены квадратичными мерами (например, при расчете средних диаметров труб, стволов деревьев).

Средняя хронологическая применяется для определения среднего уровня в моментном ряду динамики.

Модой дискретного вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту. Ряды могут быть одно и многомодальными.

Медианой дискретного вариационного ряда называется вариант, делящий ряд на две равные части.

Таблица 3.1 – Формулы расчета средних величин

Наименование средней	Простая форма	Взвешеннаяформа
Средняя арифметическая	= (3.1)	= (3.2)
Средняя гармоническая	= (3.3)	= (3.4)
Средняя квадратическая	= (3.5)	= (3.6)
Средняя геометрическая	= (3.7)	= (3.8)
Средняя хронологическая	(3.9)
Мода	(3.10) Начало модального интервала; h- длина модального интервала; Частота модального интервала; Частота предмодального интервала; Частота послемодального интервала.
Медиана	(3.11) Начало медианного интервала; h - длина медианного интервала; n - объем совокупности; Накопленная частота интервала, предшествующего медианному; Частота медианного интервала.

Для характеристики колеблемости или рассеяния значений признака применяются абсолютные и относительные показатели вариации.

Размах вариации (R ) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака.

Среднее линейное отклонение (L) - это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариант признака от среднего значения.

Дисперсия (σ 2) представляет собой средний квадрат отклонений вариант признака от их средней величины.

Среднее квадратическое отклонение (σ) определяется как корень квадратный из дисперсии.

Относительным показателем колеблемости служит коэффициент вариации , который позволяет судить об интенсивности вариации признака, а, следовательно, и об однородности состава изучаемой совокупности.

Таблица 3.2 – Формулы расчета показателей вариации

Наименование показателя	Простая форма	Взвешеннаяформа
Размах вариации	R=х max - х min (3.12)
Среднее линейное отклонение	L = (3.13)	L = (3.14)
Дисперсия	= (3.15)	(3.16)
Среднее квадратическое отклонение	(3.17)	(3.18)
Коэффициент вариации	V = или V = (3.19)

Задача 3.1. По данным пяти сельскохозяйственных организаций (приложение А)определить среднюю численность работников, среднегодовую заработную плату на одного работника и показатели вариации численности работников и среднегодовой заработной платы. Сделать вывод.

Методические указания:

Среднюю численность работников на одну организацию и показатели вариации рассчитать как простые формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Все вспомогательные вычисления провести с использованием макета таблицы3.3.

Таблица 3.3 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации

численности работников

Организация	Среднегодовая численность работников, чел.	Отклонение от средней, чел.	Квадрат отклонения
	х
1
2
3
4
5
Итого		-

Среднегодовую оплату труда работников и показатели вариации оплаты труда определить с использованием взвешенной формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Расчеты представить в таблице 3.4.

Таблица 3.4 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации

среднегодовой заработной платы

Организация	Среднегодовая оплата труда работника, тыс. руб.	Среднегодовая численность работников, чел	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Отклонение от средней, тыс. руб.	Отклонения	Общий размер квадрата отклонений
	х	f	х f		f	f
1
2
3
4
5
Итого	-			-

Задача 3.3. Поданным таблицы 3.5 определить средний процент рентабельности продаж в организациях за каждый год, абсолютный прирост прибыли и рентабельности по каждойорганизации и в целом по всей совокупности.Сделать вывод.

Таблица 3.5 – Финансовые результаты реализации продукции

Задача 3.4. По даннымтаблицы 3.6 определить среднюю урожайность озимой пшеницы,модальное и медианное значения, показатели вариации. Сделать вывод.

Таблица 3.6 – Распределение организаций по урожайности озимой пшеницы

Группа организаций по урожайности озимой пшеницы, ц/га	Число организаций в группе ()	Среднее значение интервала ()
20,01 – 26,7	6
26,71 – 33,4	9
33,41 – 40,1	11
40,11 – 46,8	13
46,81 – 53,5	6
53,51 – 60,2	5
Итого	50

Задача 3.5. По данным таблицы 3.7 определить среднее число детей на одну семью, модальное и медианное значения. Ряд распределения изобразить графически. Сделать вывод.

Таблица 3.7 – Распределение семей по числу детей

Вопросы для самоподготовки

1. Что понимается под средней величиной в статистике?

2. Условия правильного применения средних величин.

3. Назовите виды и формы средних величин.

4. Что характеризует вариация признака?

5. Показатели вариации и способы их расчета.

РЯДЫ ДИНАМИКИ

Одной из важнейших задач статистики является изучение изменения экономических явлений во времени, путем построения и анализа рядов динамики. Ряд динамики представляет собой численные значения статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени.

Графически ряды динамики изображаются линейными, либо столбиковыми диаграммами. По оси абсцисс откладываются показатели времени, а по оси ординат - уровни ряда (либо базисные темпы роста).

Введем условные обозначения:

у i – текущий (сравниваемый) уровень, i =1,2,3,…,n;

у 1 – уровень, принятый за постоянную базу сравнения (обычно начальный);

у п – конечный уровень.

Для характеристики развития явления во времени определяют показатели: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста базисным и цепным способом, значение одного процента прироста (таблица 4.1).

Таблица 4.1- Расчет текущих показателей ряда динамики

Показатель	Метод расчета
	базисный (с постоянной базой)	цепной (с переменной базой)
Абсолютный прирост (А)	(4.1)	(4.2)
Коэффициент роста (К р)	(4.3)	(4.4)
Темп роста (Т р)	(4.5)	(4.6)
Темп прироста (Т пр)	(4.7)	(4.8)
Абсолютное значение 1 % прироста (Зн.1%)	Зн.1% = 0,01 у i-1 или Зн.1%= (4.9)

Для характеристики интенсивности развития явления за длительный период времени рассчитываются средние показатели динамики (таблица4.2).

Средние показатели динамики исчисляются одинаково для интервальных и моментных рядов, исключение составляет лишь расчет среднего уровня ряда.

Таблица 4.2 – Расчет средних показателей ряда динамики

Показатель	Метод расчета
Средний уровень () а) интервального ряда	(4.10)
б) моментного ряда с равными интервалами	(4.11)
в) моментного ряда с неравными интервалами	(4.12)
Средний абсолютный прирост ()	или (4.13)
Средний коэффициент роста ()	= или (4.14)
Средний темп роста (), %	= · 100 % (4.15)
Средний темп прироста (), %	= -100 % или =( -1)·100% (4.16)
Среднее значение 1% прироста,	(4.17)

Для выявления тенденции развития в рядах динамики применяют различные методы: укрупнения временных интервалов (периодов); скользящих средних; аналитического выравнивания.

Основным условием построения и анализа ряда динамики является сопоставимость уровней во времени.

К несопоставимости приводит изменение состава или территориальных границ изучаемой совокупности, переход к другим единицам измерения, инфляционные процессы. Несопоставимыми ряды динамики являются и в том случае, если они составлены из неодинаковых по продолжительности времени периодов.

При обнаружении несопоставимости уровней ряда должна применяться процедура смыкания, если невозможен их прямой пересчет.

Смыкание может быть произведено двумя способами.

1 способ. Данные за предшествующие периоды умножаются на коэффициент перехода, который определяется как отношение показателей на тот момент времени, когда произошло изменение условий формирования уровней ряда.

2 способ. Уровень переходного периода принимается для второй части ряда за 100% и от этого уровня определяются соответствующие показатели. При этом получается сопоставимый ряд относительных величин.

Иногда в динамических рядах отсутствуют промежуточные или последующие уровни. Их можно исчислить с помощью методов интерполяции (нахождение промежуточного неизвестного уровня, при наличии известных соседних уровней) и экстраполяции (нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, или в прошлое на основании текущих уровней).

Пример 4.1 . По имеющимся данным о цене производителей на автомобильный бензин рассчитать показатели ряда динамики. Сделать вывод.

Таблица 4.3 - Расчет показателей ряда динамики

	Цена производителей автомобильного бензина, руб./т	Абсолютный прирост, руб.		Коэффициент роста				прироста, %		Значение 1% прироста, руб.
		базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
		А б	А ц	К р б	К р ц	Т р б	Т р ц	Т пр б	Т пр ц	Зн.1%
2006	9159,0	-	-	-	-	100,0	100,0	-	-	-
2007	10965,0	1806,0	1806,0	1,197	1,197	119,7	119,7	19,7	19,7	91,59
2008	14268,0	5109,0	3303,0	1,558	1,301	155,8	130,1	55,8	30,1	109,65
2009	8963,0	-196,0	-5305,0	0,979	0,628	97,9	62,8	-2,1	-37,2	142,68
2010	13831,0	4672,0	4868,0	1,510	1,543	151,0	154,3	51,0	54,3	89,63
Средние показатели	11437,2									107,16

Вывод: расчеты показали, что средняя цена бензина в динамике за 5 лет составила11437,2 руб. за 1 т. При этом ежегодно наблюдался рост цены в среднем на 1168,0 руб. или на 10,9%.Один процент прироста соответствовал107,16 руб.

Пример 4.2 . Методом аналитического выравнивания определить тенденцию изменения средней цены производителей лука репчатого. Сделать вывод.

Методические указания:

Метод аналитического выравнивания состоит в подборе для данного ряда динамики такой теоретической линии, которая выражает основные черты или закономерности изменения уровней явления. Чаще всего при выравнивании используют линейное уравнение:

= а + bt, (4.18)

где а – свободный член уравнения;

b – коэффициент;

t – порядковый номер года.

Параметры а и b определяют способом наименьших квадратов, решая систему двух нормальных уравнений:

(4.19)

Систему можно упростить, перенеся начало отсчета времени t (начало координат) в середину ряда динамики. Тогда∑t = 0 и система примет вид:

Отсюда получаем:

(4.20)

Заполним вспомогательную таблицу 4.4.

По имеющимся данным найдем параметры «а» и «b» следующим образом:

а = ;b = .

Уравнение прямой примет вид: = 6,53 + 0,49t.

Подставим значения t в уравнение и найдем теоретические (выравненные) уровни средней цены производителей репчатого лука (последний столбец таблицы 4.4).

Таблица 4.4 - Вспомогательная таблица

Год	Средняя цена производителей лука репчатого, руб./кг у	Номер года t	Квадрат номера года t 2	Произведение параметров уt	Выравненные значения =а+bt
2002	4,40	-4	16	-17,59	4,57
2003	5,46	-3	9	-16,38	5,06
2004	5,48	-2	4	-10,96	5,55
2005	4,87	-1	1	-4,87	6,04
2006	7,56	0	0	0,00	6,53
2007	8,36	1	1	8,36	7,02
2008	6,70	2	4	13,40	7,51
2009	6,19	3	9	18,58	8,00
2010	9,72	4	16	38,88	8,49
Итого	58,73	0	60	29,41	58,73

Фактические и теоретические уровни цен изобразим на рисунке 4.1.

t =6,53+0,49t

Рисунок 4.1-Динамика средней цены производителей

репчатого лука, руб./кг

Вывод: расчеты показали, что средняя цена лука репчатого за 2002-2010 гг. составила 6,53 руб. за 1 кг. В среднем она ежегодно повышалась на 0,49 руб. На графике наглядно видна четко выраженная тенденция к росту цены исследуемогопродукта.

Пример 4.3. В 2007 г. на предприятии была произведена смена оборудования, что привело к несопоставимости ряда динамики (таблица 4.5). Привести его к сопоставимому виду, применив смыкание динамического ряда. Сделать вывод.

Таблица 4.5 – Динамика объемов производства продукции предприятия

а) 19,7 ∙ 1,0755 = 21,2;

б)

.

Вывод: расчеты показали, что смена оборудования на данном предприятии привела к росту объема производства продукции. При этом в динамике за 6 лет он увеличился на 4,9 млн. руб. или на 23,1 %.

Задача 4.1. Численность работников предприятия на 1.03 составила 315 чел. 6.03 уволилось 4 чел., 12.03 принято 5 чел., 19.03 принято 3 чел., 24.03 уволилось 8 чел., 28.03 принято 2 чел. Определить среднюю численность работников за март месяц.

Задача 4.2. Поголовье коров в сельскохозяйственнойорганизации на 1.01 составляло 800 гол.,15.01 было выбраковано 30 гол., 5.02 переведено из нетелей в основное стадо 55 гол., 24.02 куплено 10 гол., 12.03 продано 15 гол., 21.03 выбраковано 25 гол. Определить среднее поголовье коров за первый квартал.

Задача 4.3. По данным приложенияВ о средней цене производителей на отдельные виды товаров за последние пять лет определить базисные и цепные показатели ряда динамики, показатели динамики в среднем за период. Расчеты представить в табличной форме. Сделать вывод.

Задача 4.4. Выявить общую тенденцию средней цены производителей на отдельные товары по данным приложенияВ, используя прием аналитического выравнивания.Фактические и выравненные (теоретические) уровни динамического ряда изобразить графически. Сделать вывод.

Задача 4.5. Используя взаимосвязь показателей, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице 4.6 базисные показатели динамики по имеющимся данным об урожайности озимой пшеницы.

Таблица 4.6 –Вспомогательная таблица для определения урожайности озимой

пшеницы и недостающих базисных показателей динамики

	Урожайность озимой пшеницы, ц/га	Базисные показатели динамики			Значение 1% прироста, ц/га
		абсолютный прирост, ц	темп роста, %	темп прироста, %
2002	55,1	-		-	-
2003		- 2,8
2004			110,3
2005
2006				17,1	0,633
2007			121,1
2008		13,5
2009
2010				20,4	0,691

Задача 4.6. Используя взаимосвязь показателей, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице 4.7 цепные показатели динамики среднегодового удоя молока от одной коровы в Краснодарском крае.

Таблица 4.7 - Вспомогательная таблица для определения среднегодового

удоя молока и недостающих цепных показателей динамики

	Среднегодовой удой молока от одной коровы, кг	Цепные показатели динамики			Значение 1% прироста,
		абсолютный прирост, кг	темп роста, %	темп прироста, %
2004	2784	-		-	-
2005		405
2006			110,5
2007
2008		152			37,65
2009				4,2
2010				-1,1

Задача4.7. До 2007 г. в состав производственного объединения входили 20 организаций. В 2007 г. в него влились еще 4 организации, и оно стало объединять 24 организации. Провести смыкание ряда динамики, используя данные таблицы 4.8. Сделать вывод.

Таблица 4.8 –Динамика объема реализации продукции объединения, млн. руб.

Вопросы для самоподготовки

1. Ряды динамики, их элементы, правила построения.Виды рядов динамики.

2. Показатели ряда динамики и порядок их расчета.

3. Приемы выявления основной тенденции развития в рядах динамики.

4. Что понимается под интерполяцией и экстраполяцией ряда динамики?

5. Как проводится смыкание рядов динамики?

Вариация -- это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом -- эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом -- велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своем средней, и наоборот, -- чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в тан ком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

Это можно показать на таком примере. Предположим, что одинаковую работу выполняют две бригады, каждая -- из трех человек. Пусть количество деталей, шт., изготовленных за смену отдельными рабочими, составляло:

в первой бригаде -- 95, 100, 105 (= 100 шт.);

во второй бригаде -- 75, 100, 125 (= 100 шт.).

Средняя выработка на одного рабочего в обеих бригадах одинакова и составляет= = 100 шт., однако колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй.

Поэтому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.

• Ш К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
• Ш Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

В нашем примере размах вариации сменной выработки деталей составляет: в первой бригаде -- R1= 10 шт. (т.е. 105 -- 95); во второй бригаде -- R2= 50 шт. (т.е. 125 -- 75), что в 5 раз больше.

Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более «устойчива». Размах вариации может служить базой расчета возможных резервов роста выработки. Таких резервов больше у второй бригады, поскольку в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки деталей, ею может быть изготовлено 375 шт., т.е. (3x125), а в первой - только 315 шт., т.е. (3 х 105).

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и даёт обобщённую характеристику. Простейший показатель такого типа - среднее линейное отклонение

Ш Среднее линейное отклонение d представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: ().

Среднее линейное отклонение:

Для несгруппированных данных

где n - число членов ряда;

Для сгруппированных данных

где -- сумма частот вариационного ряда.

В формулах (5.18) и (5,19) разности в числителе взяты по модулю, (иначе в числителе всегда будет ноль -- алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической). Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):

§ простая дисперсия для несгруппированных данных

§ взвешенная дисперсия для вариационного ряда

Формула (5.21) применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

Формулу для расчета дисперсии (5.20) можно преобразовать, учитывая, что

т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата их средней.

Техника вычисления дисперсии по формулам (5.20), (5.21) достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой.

Расчет можно упростить, используя свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике). Приведем два из них:

первое -- если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;

второе -- если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (i раз), то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в i2 раз. Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, получим следующую формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

где -- дисперсия, исчисленная по способу моментов;

i - величина интервала;

новые (преобразованные) значения вариантов (А -- условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой);

Момент второго порядка;

Квадрат момента первого порядка.

Расчет дисперсии по формуле (5.23) менее трудоемок.

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия. Ниже, в частности, будет показано разложение дисперсии на соответствующие элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака; использование дисперсии для построения показателей тесноты корреляционной связи при оценке результатов выборочных наблюдений.

• Ш Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
  • § для несгруппированных данных

§ для вариационного ряда

Среднее квадратическое отклонение -- это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Обозначим: 1 -- наличие интересующего нас признака; 0 -- его отсутствие; р -- доля единиц, обладающих данным признаком; q -- доля единиц, не обладающих данным признаком; p + q =1. Исчислим среднее значение альтернативного признака и его дисперсию. Среднее значение альтернативного признака

вариация средний величина квадратический

так как р + q = 1.

Дисперсия альтернативного признака

Подставив в формулу дисперсии q = 1- р, получим

Таким образом, = pq -- дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

Например, если на 10 000 человек населения района приходится 4500 мужчин и 5500 женщин, то

Дисперсия альтернативного признака = pq = 0,45*0,55 = 0,2475.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25. Оно получается при р = 0,5.

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака

Если, например, 2% всех деталей бракованные (р = 0,02), то 98% -- годные (q = 0,98), тогда дисперсия доли брака

0,02- 0,98 = 0,0196.

Среднее квадратическое отклонение доли брака составит:

0,14, т.е. = 14%.

При вычислении средних величин и дисперсии для интервальных рядов распределения истинные значения признака заменяются центральными (серединными) значениями интервалов, которые отличаются от средней арифметической значений, включенных в интервал. Это приводит к появлению систематической погрешности при расчете дисперсии. В.Ф.Шеппард установил, что погрешность в расчете дисперсии, вызванная применением сгруппированных данных, составляет 1/12 квадрата величины интервала (т.е. i2/12) как в сторону занижения, так и в сторону завышения величины дисперсии.

Поправка Шеппарда должна применяться, если распределение близко к нормальному, относится к признаку с непрерывным характером вариации, построено по большому количеству исходных данных (n>500). Однако исходя из того, что в ряде случаев обе погрешности, действуя в противоположных направлениях, нейтрализуются и компенсируют друг друга, можно иногда отказаться от введения поправок.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.

Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации -- коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Покажем расчет различными способами показателей вариации на примере данных о сменной выработке рабочих бригады, представленных интервальным рядом распределения (табл. 5.7).

Исчислим среднесменную выработку, шт.:

Рассчитаем дисперсию выработки по (5.21):

Найдем среднее квадратическое отклонение, шт.:

Определим коэффициент вариации, %:

Таким образом, данная бригада рабочих достаточно однородна по выработке, поскольку вариация признака составляет лишь 8%.

Теперь выполним расчет дисперсии по формуле (5.22) и по способу моментов по формуле (5.23), для расчета воспользуемся данными табл. 5.7, графы 8-11.

Расчет дисперсии по формуле (5.20):

Расчет дисперсии по способу моментов, см. формулу (5.21):

где А = 50 -- центральный вариант с наибольшей частотой;

i = 20 -- величина интервала данного ряда;

Таблица 5.7

Распределение рабочих по сменной выработке изделия А и расчетные значения для исчисления показателей вариации

Группы рабочих по сменной выработке изделий, шт.	Число рабочих	Середина интервала x	Расчетные значения

Как видим, наименее трудоемким является метод исчисления дисперсии способом моментов.

Общая теория статистики: конспект лекции Коник Нина Владимировна

ЛЕКЦИЯ №5. Средние величины и показатели вариации

1. Средние величины и общие принципы их исчисления

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков не был взят, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике, варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника. Тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики. Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.

В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя выступает как «обезличенная» величина, которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Таким образом, средняя отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Однако для того чтобы средняя отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних и метода группировок в анализе социально-экономических явлений.

Следовательно, средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Определяя таким образом сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней предполагает выполнение следующих требований:

1) качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Исчисление средней для разнокачественных (разнотипных) явлений противоречит самой сущности средней, так как развитие таких явлений подчиняется разным, а не общим закономерностям и причинам. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;

2) исключение влияния на исчисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда исчисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимно погашаются;

3) при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована. Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить их средним значением, то сумма или произведение в этом случае не изменят определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, – групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Способы расчета могут быть разные, и в связи с этим в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

В экономическом анализе использование средних величин является действенным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, изыскания скрытых и неиспользуемых резервов развития экономики.

В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Из книги Больше, чем вы знаете. Необычный взгляд на мир финансов автора Мобуссин Майкл

Глава 24 Прострация от экстраполяции Использовать средние показатели цены/прибыли – глупо Чтобы средние исторические показатели были полезны, данные, на основе которых они вычисляются, должны происходить из той же совокупности. В ином случае – если данные происходят из

Из книги История экономических учений: конспект лекций автора Елисеева Елена Леонидовна

ЛЕКЦИЯ № 15. Экономическое развитие Руси в средние века 1. Причины и последствия феодальной раздробленности. Рост феодального землевладения Период политической раздробленности наступил в XII – XV вв. Это закономерный исторический этап в развитии феодализма. Одной из

автора Щербина Лидия Владимировна

23. Средние величины и общие принципы их исчисления Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количе–ства индивидуальных

Из книги Общая теория статистики автора Щербина Лидия Владимировна

26. Показатели вариации Вариационными называют ряды распределени построенные по количественному признаку. Значени количественных признаков у отдельных единиц сов купности непостоянны, более или менее различают между собой. Такое различие в величине признака н сит

Из книги Общая теория статистики автора Щербина Лидия Владимировна

54. Средние показатели динамики С течением времени изменяются не только уров–ни явлений, но и показатели их динамики – абсолют–ные приросты и темпы развития. Поэтому для обоб–щающей характеристики развития, для выявления и измерения типичных основных тенденций и

автора Коник Нина Владимировна

ЛЕКЦИЯ № 4. Статистические величины и показатели 1. Назначение и виды статистических показателей и величин Природа и содержание статистических показателей соответствуют тем экономическим и социальным явлениям и процессам, которые их отражают. Все экономические и

Из книги Общая теория статистики: конспект лекции автора Коник Нина Владимировна

1. Средние величины и общие принципы их исчисления Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений

Из книги Общая теория статистики: конспект лекции автора Коник Нина Владимировна

3. Показатели вариации Целью статистического исследования является выявление основных свойств и закономерностей изучаемой статистической совокупности. В процессе сводной обработки данных статистического наблюдения строят ряды распределения. Различают два типа рядов

Из книги Общая теория статистики: конспект лекции автора Коник Нина Владимировна

3. Средние показатели динамики С течением времени изменяются не только уровни явлений, но и показатели их динамики – абсолютные приросты и темпы развития. Поэтому для обобщающей характеристики развития, для выявления и измерения типичных основных тенденций и

Из книги Экономический анализ. Шпаргалки автора Ольшевская Наталья

59. Относительные и средние величины Экономический анализ начинается по своей сути с исчисления величины относительной. Относительные величины незаменимы при анализе явлений динамики. Понятно, что эти явления можно выразить и в абсолютных величинах, но доходчивость,

Из книги Теория статистики автора

31. Структурные средние величины. Мода и медиана Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант.Модой называется

Из книги Искусство коммуникации в сетевом маркетинге автора Пиз Алан

Правило № 5: улучшай свои средние показатели Работая в страховом бизнесе, я понимал, что каждый раз, снимая трубку и разговаривая с любым клиентом, зарабатываю 30 долларов. Однако пятеро клиентов на каждые десять звонков казались мне не самым лучшим показателем, поскольку

автора Бурханова Инесса Викторовна

ЛЕКЦИЯ № 7. Средние величины 1. Общая характеристика В целях анализа и получения статистических выводов по результатом сводки и группировки исчисляют обобщающие показатели – средние и относительные величины.Задача средних величин – охарактеризовать все единицы

Из книги Теория статистики: конспект лекций автора Бурханова Инесса Викторовна

3. Структурные средние величины. Мода и медиана Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется

Из книги Теория статистики: конспект лекций автора Бурханова Инесса Викторовна

ЛЕКЦИЯ № 8. Показатели вариации 1. Понятие вариации Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным

Из книги Результативность. Секреты эффективного поведения автора Стюарт-Котце Робин

Средние показатели поведенческого профиля индивидуума Усредненные показатели всегда скрывают различия.Предыдущие графики показывают среднее поведение команд продавцов и средний уровень поведенческих ожиданий и ценностей группы клиентов. На рис. 14.5 стиль продаж

Средняя величина - это обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по изучаемому признака.

Выбор средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин:

Арифметическая

Гармоническая

Квадратичная

Геометрическая

Каждая из них может быть простой и взвешенной. Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и определяются формулой (при различных значениях m):

При m = -1 средняя гармоническая;

m = 0 средняя геометрическая

m = 1 средняя арифметическая;

m = 2 средняя квадратическая;

Средняя арифметическая простая - это самая часто используемая средняя величина, которая получается, если подставить в общую формулу m=1. Средняя арифметическая простая имеет следующий вид:

где X - значения величин, для которых необходимо рассчитать среднее значение; N - общее количество значений X (число единиц в изучаемой совокупности).

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется когда варианты встречаются не одинаковое число раз.

Число одинаковых значений и признаков в рядах распределения называется частотой или весом (f). Средняя арифметическая взвешенная имеет следующий вид:

Для вычисления средней арифметической взвешенной необходимо:

Каждую варианту умножить на вес признака (x*f)

Найти сумму этих произведений

Сумму произведений вариант

Средняя гармоническая простая применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта =1, и когда индивидуальное значение обратного признака встречается по 1 разу. Средняя гармоническая простая обратная средней арифметической из обратных значений признака.

Средняя гармоническая простая применяется для расчета средней трудоемкости и средней производительности труда.

Средняя гармоническая взвешенная применятся, когда статистическая информация не содержит частой по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, и когда имеются данные об индивидуальных значениях признака и общем объеме совокупности, но неизвестны частоты.

Средняя квадратическая простая применяется для расчета среднего диаметра стволов деревьев, клубней, труб и т.д. Т.е. она применятся для обобщения признаков, выраженных линейными мерами каких-либо площадей. Средняя квадратическая простая определяется путем деления суммы квадратов отдельных значений признаков на их число и извлечение из полученного частного квадратного корня.

Средняя квадратическая взвешенная применяется в том случае, если будет частота повторения признака.

Средняя геометрическая простая применяется в тех случаях, когда индивидуальное значение признака представляет собой относительные величины динамики. Вычисляется путем извлечения корня степени n из произведений отдельных значений признака.

Модой называется наиболее часто встречающаяся величинв признака. Определение моды зависит от того, в каком ряду представлен вальрирующий признак, если вальрирующий признак представлен в в идее дискретного ряда распределения, то для определения моды не требуется никаких вычислений. В таком ряду модой будет то значение признака, которое обладает наибольшей частотой. Если значение признака представлены в виде интервального вида, то мода определяется:

где Мо - мода;

ХНМо - нижняя граница модального интервала

;hМо - размах модального интервала (разность между его верхней и нижней границей);

fМо - частота модальноого интервала;

fМо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

fМо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Медианой называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда. А если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая двух вариант, расположенных в середине ряда. Медиану для интервального вариационного ряда рассчитывают:

где Ме - медиана;

НМе - нижняя граница медианного интервала;

hМе - размах медианного интервала;

fМе - частота медианного интервала;

fМе-1 - сумма частот интервалов, предшествующих медианному.

Показатели вариаций- отклонение индивидуальных показателей от средней величины.

Существуют следующие показатели вариаций:

Размах вариации или лимит изменчивости

Среднее линейное отклонение

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Размах вариации- разность между наибольшим и наименьшим значением вальрирующего признака.

Размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду.

Среднее линейное отклонение- сумма отклонений каждой варианты от своей средней арифметической без учета знака, деленная на число вариант. Существует простое и взвешенное.

Среднее линейное отклонение дает лишь приближенную характеристику вариации.

Дисперсия- среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней.

Для расчета простой дисперсии находят отклонения каждой варианты от средней, затем отклонения возводят в квадрат, суммируют и делят на число вариант.

Простая дисперсия:

Взвешенная:

Среднее квадратическое отклонение- корень квадратный из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение обладает большей степенью точности и находит применение при любом анализе статистических совокупностей. Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более типичней будет средняя величина.

Коэффициент вариаций- относительная мера изменчивости признака. % отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

Чем больше коэффициент вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородней совокупность по своему составу. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариаций не превышает 33%.