Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора можно найти следующие показатели:
- уравнение множественной регрессии, матрица парных коэффициентов корреляции, средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии;
- множественный коэффициент детерминации, доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения результативного признака;
Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), количество переменных x нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример нахождения уравнения множественной регрессии и корреляции). Если данных много, можно вставить их из MS Excel . Для этого укажите количество переменных x нажмите Вставить из Excel ().
При вычислении параметров уравнения множественной регрессии используется матричный метод . Для множественной регрессии с двумя переменными (m = 2), можно воспользоваться методом решения системы уравнений .
Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели, который в свою очередь включает 2 круга вопросов: отбор факторов и выбор уравнения регрессии .
Отбор факторов обычно осуществляется в два этапа:
- теоретический анализ взаимосвязи результата и круга факторов, которые оказывают на него существенное влияние;
- количественная оценка взаимосвязи факторов с результатом. При линейной форме связи между признаками данный этап сводится к анализу корреляционной матрицы (матрицы парных линейных коэффициентов корреляции). Научно обоснованное решение задач подобного вида также осуществляется с помощью дисперсионного анализа - однофакторного , если проверяется существенность влияния того или иного фактора на рассматриваемый признак, или многофакторного в случае изучения влияния на него комбинации факторов.
- Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
- Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т.е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен быть существенным).
- Факторы не должны быть сильно коррелированы друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированы). Разновидностью интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность - тесная линейная связь между факторами.
Пример
. Постройте регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными (множественная регрессия). Определите теоретическое уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели.
Решение
.
К исходной матрице X добавим единичный столбец, получив новую матрицу X
Находим обратную матрицу (X T X) -1
| 13.99 | 0.64 | -1.3 |
| 0.64 | 0.1 | -0.0988 |
| -1.3 | -0.0988 | 0.14 |
Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
| (X T X) -1 X T Y = y(x) = |
| * |
| = |
|
Получили оценку уравнения регрессии: Y = 34.66 + 1.97X 1 -2.45X 2
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности. Для ее проверки используют
1. Основные определения и формулы
Множественная регрессия
- регрессия между переменными и 
т.е. модель вида:
где - зависимая переменная (результативный признак);
- независимые объясняющие переменные;
Возмущение или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных в модели факторов;
Число параметров при переменных
Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.
Уравнение множественной линейной регрессии
в случае независимых переменных имеет вид а в случае двух независимых переменных - 
(двухфакторное уравнение).
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов . Строится система нормальных уравнений:
Решение этой системы позволяет получить оценки параметров регрессии с помощью метода определителей
где 
- определитель системы;
- частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными правой части системы.
Для двухфакторного уравнения коэффициенты множественной линейной регрессии можно вычислить по формулам:
Частные уравнения регрессии
характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии. Это позволяет на основе частных уравнений регрессии 
определять частные коэффициенты эластичности
:
Средние коэффициентами эластичности показывают на сколько процентов в среднем изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1%:
Их можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает коэффиц и ент (индекс) множественной корреляции :
Величина индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции: 
Чем ближе значение индекса множественной корреляции к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов.
Сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности (величина индекса множественной корреляции существенно отличается от индекса парной корреляции) включения в уравнение регрессии того или иного фактора.
При линейной зависимости совокупный коэффициент множественной ко р реляции определяется через матрицу парных коэффициентов корреляции:
где 
- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
- определитель матрицы межфакторной корреляции.
Частны е коэффициент ы корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов. Если вычисляется, например, (частный коэффициент корреляции между и при фиксированном влиянии ), это означает, что определяется количественная мера линейной зависимости между и которая будет иметь место, если устранить влияние на эти признаки фактора
Частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить как:
или по рекуррентной формуле:
Для двухфакторного уравнения:
или
Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до +1.
Сравнение значений парного и частного коэффициентов корреляции показывает направление воздействия фиксируемого фактора. Если частный коэффициент корреляции получится меньше, чем соответствующий парныйкоэффициент значит взаимосвязь признаков и в некоторой степени обусловлена воздействием на них фиксируемой переменной И наоборот, большее значение частного коэффициента по сравнению с парным свидетельствует о том, что фиксируемая переменная ослабляет своим воздействием связь и
Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, - коэффициент частной корреляции первого порядка.
Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент мн о жественной корреляции :
Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) множественной детерминации , который рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции: Индекс множественной детерминации фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как
Если число параметров при близко к объему наблюдений, то коэффициент множественной корреляции приблизится к единице даже при слабой связи факторов с результатом. Для того чтобы не допустить возможногопреувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс множественной корреляции , который содержит поправку на число степеней свободы:
Чем больше величина тем сильнее различия и
Значимость частных коэффициентов корреляции проверяется аналогично случаю парных коэффициентов корреляции. Единственным отличием является число степеней свободы, которое следует брать равным =--2.
Значимость уравнения множественной регрессии в целом , так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью - критерия Фишера :
Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный -критерий . В общем виде для фактора частный -критерий определяется как
Для двухфакторного уравнения частные -критерии имеют вид:
Если фактическое значение превышает табличное, то дополнительное включение фактора в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии при факторе статистически значим. Если же фактическое значение меньше табличного, то фактор нецелесообразно включать в модель, а коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.
Для оценки значимости коэффициентов чистой регрессии по -критерию Стьюдента используется формула:
где - коэффициент чистой регрессии при факторе
- средняя квадратическая (стандартная) ошибка коэффициента регрессии которая может быть определена по формуле:
При дополнительном включении в регрессию нового фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться. Если это не так, то включаемый в анализ новый фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором. Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по -критерию Стьюдента.
При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами.
Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться опред е литель матрицы между факторами . Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе к 1 определитель, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это означает, что для каждого значения фактора остатки 
имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность
. При нарушении гомоскедастичности выполняются неравенства 
Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции (рис. 9.22).
Рис. 9.22 . Примеры гетероскедастичности:
а) дисперсия остатков растет по мере увеличения
б) дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной и уменьшается при минимальных и максимальных значениях
в) максимальная дисперсия остатков при малых значениях и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений
Для проверки выборки на гетероскедастичность можно использовать метод Гольдфельда-Квандта (при малом объеме выборки) или критерий Бартлетта (при большом объеме выборки).
Последовательность применения теста Гольдфельда-Квандта :
1) Упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.
2) Исключить из рассмотрения центральных наблюдений. При этом 
где - число оцениваемых параметров. Из экспериментальных расчетов для случая однофакторного уравнения регрессии рекомендовано при =30 принимать =8, а при =60 соответственно =16.
3) Разделить совокупность из наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора ) и определить по каждой из групп уравнение регрессии.
4) Вычислить остаточную сумму квадратов для первой и второй групп и найти их отношение 
где При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение будет удовлетворять -критерию Фишера со степенями свободы 
для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина превышает тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.
Если необходимо включить в модель факторы, имеющие два или более качественных уровней (пол, профессия, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону и т.д.), то им должны быть присвоены цифровые метки, т.е. качественные переменные преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные называют фиктивными (и с кусственными) переменными .
К оэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории к другой при неизменных значениях остальных параметров. Значимость влияния фиктивной переменной проверяется с помощью -критерия Стьюдента.
2. Решение типовых задач
Пример 9. 2. По 15 предприятиям отрасли (табл. 9.4) изучается зависимость затрат на выпуск продукции (тыс. ден. ед.) от объема произведенной продукции (тыс. ед.) и расходов на сырье (тыс. ден. ед). Необходимо:
1) Построить уравнение множественной линейной регрессии.
2) Вычислить и интерпретировать:
Средние коэффициенты эластичности;
Парные коэффициенты корреляции, оценить их значимость на уровне 0,05;
Частные коэффициенты корреляции;
Коэффициент множественной корреляции, множественный коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент детерминации.
3) Оценить надежность построенного уравнения регрессии и целесообразность включения фактора после фактора и после
Таблица 9.4
|
x 1 |
x 2 |
||
Решение:
1) В Excel составим вспомогательную таблицу рис. 9.23.
Рис. 9.23 . Расчетная таблица многофакторной регрессии.
С помощью встроенных функций вычислим: =345,5; =13838,89; =8515,78; =219,315; =9,37; =6558,08.
Затем найдем коэффициенты множественной линейной регрессии и оформим вывод результатов как на рис. 9.24.
Рис. 9.24 . Решение задачи в MS Excel
Для вычисления значения коэффициента используем формулы
Формулы для вычисления параметров заносим в ячейки Е 20 , Е 2 1, Е 2 2. Так длявычисления параметра b 1 в Е 20 поместим формулу =(B20*B24-B21*B22)/(B23*B24-B22^2) и получим 29,83. Аналогично получаем значения =0,301 и Коэффициент =-31,25 (рис. 9.25.).
Рис. 9.25 . Вычисление параметров уравнения множественной регрессии (в с т роке формул формула для расчета b 2) .
Уравнение множественной линейной регрессии примет вид:
31,25+29,83+0,301
Таким образом, при увеличении объема произведенной продукции на 1 тыс. ед. затраты на выпуск этой продукции в среднем увеличатся на 29,83 тыс. ден. ед., а при увеличении расходов на сырье на 1 тыс. ден. ед. затраты увеличатся в среднем на 0,301 тыс. ден. ед.
2) Для вычисления средних коэффициентов эластичности воспользуемся формулой: Вычисляем: =0,884 и =0,184. Т.е. увеличение только объема произведенной продукции (от своего среднего значения) или только расходов на сырье на 1% увеличивает в среднем затраты на выпуск продукции на 0,884% или 0,184% соответственно. Таким образом, фактор оказывает большее влияние на результат, чем фактор
Для вычисления парных коэффициентов корреляции воспользуемся функцией «КОРРЕЛ» рис. 9.26.
Рис. 9.26 . Вычисление парных коэффициентов корреляции
Значения парных коэффициентов корреляции указывают на весьма тесную связь с и на тесную связь с В то же время межфакторная связь очень сильная (=0,88>0,7), что говорит о том, что один из факторов является неинформативным, т.е. в модель необходимо включать или или
З начимост ь парных коэффициентов корреляции оценим с помощью -критерия Стьюдента. =2,1604 определяем с помощью встроенной статистической функции СТЬЮДРАСПОБР взяв =0,05 и =-2=13.
Фактическое значение -критерия Стьюдента для каждого парного коэффициента определим по формулам: 
. Результат расчета представлен на рис. 9.27.
Рис. 9.27 . Результат расчета фактических значений -критерия Стьюдента
Получим =12,278; =7,1896; =6,845.
Так как фактические значения -статистики превосходят табличные, то парные коэффициенты корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Получим =0,81; =0,34; =0,21. Таким образом, фактор оказывает более сильное влияние на результат, чем
При сравнении значений коэффициентов парной и частной корреляции приходим к выводу, что из-за сильной межфакторной связи коэффициенты парной и частной корреляции отличаются довольно значительно.
Коэффициент множественной корреляции
Следовательно, зависимость от и характеризуется как очень тесная, в которой =93% вариации затрат на выпуск продукции определяются вариацией учтенных в модели факторов: объема произведенной продукции и расходов на сырье. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 7% от общей вариации
Скорректированный коэффициент множественной детерминации
=0,9182 указывает на тесную связь между результатом и признаками.
Рис. 9.28 . Результаты расчета частных коэффициентов корреляции и коэфф и циента множественной корреляции
3) Оценим надежность уравнения регрессии в целом
с помощью -критерия Фишера. Вычислим 
. =3,8853 определяем взяв =0,05, =2, =15-2-1=12 помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР
с такими же параметрами.
Так как фактическое значение больше табличного, то с вероятностью 95% делаем заключение о статистической значимости уравнения множественной линейной регрессии в целом.
Оценим целесообразность включения фактора после фактора и после с помощью частного -критерия Фишера по формулам
; 
.
Для этого в ячейку B32 заносим формулу для расчета F x 1 «=(B28- H24^2)*(15-3)/(1-B28) », а в ячейку B 33 формулу для расчета F x 2 «=(B28-H23^2)*(15-3)/(1-B28) », результат вычисления F x 1 = 22,4127, F x 2 = 1,5958. Табличное значение критерия Фишера определим с помощью встроенной функции FРАСПОБР с параметрами =0,05, =1, =12 «=FРАСПОБР(0,05; 1 ;12) », результат - =4,747. Так как =22,4127>=4,747, а =1,5958<=4,747, то включение фактора в модель статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии статистически значим, а дополнительное включение фактора после того, как уже введен фактор нецелесообразно (рис. 9.29).
Рис. 9.29 . Результаты расчета критерия Фишера
Низкое значение (немногим больше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста за счет включения в модель фактора после фактора Это означает, что парная регрессионная модель зависимости затрат на выпуск продукции от объема произведенной продукции является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор (расходы на сырье).
3. Дополнительные сведения для решения задач с помощью MS Excel
Сводные данные основных характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помощью инструмента анализа данных Опис а тельная статистика . Порядок действий следующий:
1. Необходимо проверить доступ к Пакету анализа . Для этого в ленте выбираем вкладку «Данные», в ней раздел «Анализ» (рис. 9.30.).
Рис. 9.30 . Вкладка данные диалоговое окно «Анализ данных»
2. В диалоговом окне «Анализ данных» выбрать Описательная стат и стика и нажать кнопку «ОК», в появившемся диалоговом окне заполните необходимые поля (рис. 9.31):
Рис.
9.31
.
Диалоговое окно ввода параметров инструмента
«
Описательная статистика
»
Входной интервал - диапазон, содержащий данные результативного и объясняющих признаков;
Группирование - указать, как расположены данные (в столбцах или строках);
Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;
Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;
Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа, на который будут выведены результаты.
Для получения информации Итоговой статистики, Уровня наде ж ности, -го наибольшего и наименьшего значений нужно установить соответствующие флажки в диалоговом окне.
Получаем следующую статистику (рис. 2.10).
Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Например, при построении модели потребления того или иного товара от дохода исследователь предполагает, что в каждой группе дохода одинаково влияние на потребление таких факторов, как цена товара, размер семьи, ее состав. Вместе с тем исследователь никогда не может быть уверен в справедливости данного предположения. Для того чтобы иметь правильное представление о влиянии дохода на потребление, необходимо изучить их корреляцию при неизменном уровне других факторов. Прямой путь решения такой задачи состоит в отборе единиц совокупности с одинаковыми значениями всех других факторов, кроме дохода. Он приводит к планированию эксперимента - методу, который используется в химических, физических, биологических исследованиях.
Экономист в отличие от экспериментатора-естественника лишен возможности регулировать другие факторы. Поведение отдельных экономических переменных контролировать нельзя, т. е. не удается обеспечить равенство всех прочих условий для оценки влияния одного исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т. е. построить уравнение множественной регрессии:
y=a+b 1 *x 1 +b 2 *x 2 +…+b p *x p + (9.1)
Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия - один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.
Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели, Включает в себя два круга вопросов; отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.
Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.
1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов; в модели стоимости объектов недвижимости учитывается место нахождения недвижимости).
2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.
Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.
Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации R 2 , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии р факторов. Влияние других не учтенных в модели факторов оценивается как 1 - R 2 с соответствующей остаточной дисперсией S 2 .
При дополнительном включении в регрессию р + 1 фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться
R 2 p +1 R 2 p (9.2)
S 2 p +1 S 2 p (9.3)
Если же этого не происходит и данные показатели практически мало отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор x p +1 не улучшает модель и практически является лишним фактором. Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по t-критерию Стьюдента.
Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй - на основе матрицы показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии.
Коэффициенты интеркорреляции (т. е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы.
Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.
По величине парных коэффициентов корреляции может обнаруживаться лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т. е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга.
Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
Если рассматривается регрессия для расчета параметров, применяя МНК,
y=a+b*x+y*z+d*v+, (9.4)
то предполагается равенство
S y =S факт +S (9.5)
где S y - общая сумма квадратов отклонений , а S факт - факторная (объясненная) сумма квадратов отклонений , S- остаточная сумма квадратов отклонений .
В свою очередь, при независимости факторов друг от друга выполнимо равенство:
S факт = S x + S z + S v (9.6)
где S x , S z , S v - суммы квадратов отклонений, обусловленные влиянием соответствующих факторов.
Если же факторы интеркоррелированы, то данное равенство нарушается.
Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующих последствий:
· затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в "чистом" виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;
· оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.
Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.
Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все не диагональные элементы были бы равны нулю.
Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
Оценка значимости мультиколлинеарности факторов может быть проведена методом испытания гипотезы о независимости переменных.
Через коэффициенты множественной детерминации можно найти переменные, ответственные за мультиколлинеарность факторов. Для этого в качестве зависимой переменной рассматривается каждый из факторов. Чем ближе значение коэффициента множественной детерминации к единице, тем сильнее проявляется мультиколлинеарность факторов. Сравнивая между собой коэффициенты множественной детерминации факторов можно выделить переменные, ответственные за мультиколлинеарность, следовательно, можно решать проблему отбора факторов, оставляя в уравнении факторы с минимальной величиной коэффициента множественной детерминации.
Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной корреляции. Самый простой путь устранения мультиколлинеарности состоит в исключении из модели одного или нескольких факторов. Другой подход связан с преобразованием факторов, при котором уменьшается корреляция между ними. Например, при построении модели на основе рядов динамики переходят от первоначальных данных к первым разностям уровней, чтобы исключить влияние тенденции, или используются такие методы, которые сводят к нулю межфакторную корреляцию, т. е. переходят от исходных переменных к их линейным комбинациям, не коррелированных друг с другом (метод главных компонент).
Одним из путей учета внутренней корреляции факторов является переход к совмещенным уравнениям регрессии, т. е. к уравнениям, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие.
Рассматривается уравнение, включающее взаимодействие первого порядка (взаимодействие двух факторов). Возможно включение в модель и взаимодействий более высокого порядка (взаимодействие второго порядка).
Как правило, взаимодействия третьего и более высоких порядков оказываются статистически незначимыми, совмещенные уравнения регрессии ограничиваются взаимодействиями первого и второго порядков. Но и эти взаимодействия могут оказаться несущественными, поэтому нецелесообразно полное включение в модель взаимодействий всех факторов и всех порядков.
Совмещенные уравнения регрессии строятся, например, при исследовании эффекта влияния на урожайность разных видов удобрений (комбинаций азота и фосфора).
Решению проблемы устранения мультиколлинеарности факторов может помочь и переход к уравнениям приведенной формы. С этой целью в уравнение регрессии производится подстановка рассматриваемого фактора через выражение его из другого уравнения.
Пусть, например, рассматривается двухфакторная регрессия вида
у х =а+b i *x i +b 2 *X 2 , дня которой факторы, xi и Х 2 обнаруживают высокую корреляцию. Если исключить один из факторов, то мы придем к уравнению парной регрессии. Вместе с тем можно оставить факторы в модели, но исследовать данное двухфакторное уравнение регрессии совместно с другим уравнением, в котором фактор рассматривается как зависимая переменная.
Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важнейших этапов практического использования методов регрессии. Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разные. Они приводят построение уравнения множественной регрессии соответственно к разным методикам. В зависимости от того, какая методика построения уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения на ЭВМ.
Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:
· метод исключения;
· метод включения;
· шаговый регрессионный анализ.
Каждый из этих методов по-своему решает проблему отбора факторов, давая в целом близкие результаты - отсев факторов из полного его набора (метод исключения), дополнительное введение фактора (метод включения), исключение ранее введенного фактора (шаговый регрессионный анализ).
На первый взгляд может показаться, что матрица парных коэффициентов корреляции играет главную роль в отборе факторов. Вместе с тем вследствие взаимодействия факторов парные коэффициенты корреляции не могут в полной мере решать вопрос о целесообразности включения в модель того или иного фактора. Эту роль выполняют показатели частной корреляции, оценивающие в чистом виде тесноту связи фактора с результатом.
Матрица частных коэффициентов корреляции наиболее широко используется в процедуре отсева факторов. При отборе факторов рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6 - 7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. Если это соотношение нарушено, то число степеней свободы остаточной вариации очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а F-критерий меньше табличного значения.
По существу эффективность и целесообразность применения эконометрических методов наиболее явно проявляются при изучении явлений и процессов, в которых зависимая переменная (объясняемая) подвержена влиянию множества различных факторов (объясняющих переменных). Множественная регрессия это уравнение связи с несколькими независимыми переменными . Позднее, правда, мы увидим, что эту независимость не следует понимать абсолютно. Необходимо исследовать какие объясняющие переменные можно считать независимыми в силу их незначительной связи между собой, а для каких это несправедливо. Но в качестве первого приближения, хорошо оправдывающегося во многих случаях и необходимого для понимания дальнейшего, мы изучим сначала этот более простой случай с независимыми объясняющими переменными
Каким образом отбираются факторы, входящие в модель множественной регрессии? Прежде всего, эти факторы должны поддаваться количественному измерению. Может оказаться, что необходимо включить в модель (уравнение) некий качественный фактор, который не имеет количественного измерения. В этом случае следует добиться количественной определенности такого качественного фактора, т.е. ввести некоторую шкалу оценки данного фактора и по ней оценить его. Далее факторы не должны иметь явно выраженной и к тому же сильной взаимосвязи (имеется в виду общая стохастическая связь, или корреляция), т.е. не быть интеркоррелированы.
Тем более, не допустимо наличие между факторами явной функциональной связи! В случае факторов с высокой степенью интеркорреляции система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной, т.е. независимо от выбора численного метода ее решения получающиеся оценки коэффициентов регрессии будут неустойчивыми и ненадежными. Более того, при наличии высокой корреляции между факторами крайне трудно, практически невозможно определить изолированное влияние факторов на результативный признак, а сами параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемы.
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии также как и для оценки таких параметров в простейшем случае парной однофакторной регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК). Соответствующая система нормальных уравнений имеет структуру аналогичную той, которая была в модели однофакторной регрессии. Но теперь является более громоздкой, и для ее решения можно применять известный из линейной алгебры метод определителей Краммера.
Если парная регрессия (однофакторная) может дать хороший результат, в случае когда влиянием других факторов можно пренебречь, то исследователь не может быть уверен в справедливости пренебрежения влиянием прочих факторов в общем случае. Более того, в экономике в отличие от химии, физики и биологии затруднительно использовать для преодоления этой трудности методы планирования эксперимента , ввиду отсутствия в экономике возможности регулирования отдельных факторов! Поэтому особенно большое значение приобретает попытка выявления влияния прочих факторов с помощью построения уравнения множественной регрессии и изучения такого уравнения .
Анализ модели множественной регрессии требует разрешения двух весьма важных новых вопросов. Первым является вопрос разграничения эффектов различных независимых переменных . Данная проблема, когда она становится особенно существенна носит название проблемы мультиколлинеарности. Вторая, не менее важная проблема заключается в оценке совместной (объединенной) объясняющей способности независимых переменных в противоположность влиянию их индивидуальных предельных эффектов .
С этими двумя вопросами связана проблема спецификации модели. Дело в том, что среди нескольких объясняющих переменных имеются оказывающие влияние на зависимую переменную и не оказывающие такового влияния. Более того, некоторые переменные могут и вовсе не подходить для данной модели. Поэтому необходимо решить какие переменные следует включать в модель (уравнение). А какие переменные напротив необходимо исключить из уравнения. Так, если в уравнение не вошла переменная, которая по природе исследуемых явлений и процессов в действительности должна была быть включена в эту модель, то оценки коэффициентов регрессии с довольно большой вероятностью могут оказаться смещенными. При этом рассчитанные по простым формулам стандартные ошибки коэффициентов и соответствующие тесты в целом становятся некорректными.
Если же включена переменная, которая не должна присутствовать в уравнении, то оценки коэффициентов регрессии будут несмещенными, но с высокой вероятностью окажутся неэффективными. Также оказывается в этом случае, что рассчитанные стандартные ошибки окажутся в целом приемлемы, но из-за неэффективности регрессионных оценок они станут чрезмерно большими.
Особого внимания заслуживают так называемые замещающие переменные. Часто оказывается, что данные по какой либо переменной не могут быть найдены или что определение таких переменных столь расплывчато, что непонятно как их в принципе измерить. Другие переменные поддаются измерению, но таковое весьма трудоемко и требует много времени, что практически весьма неудобно. Во всех этих и иных случаях приходится использовать некоторую другую переменную, вместо вызывающей описанные выше затруднения. Такая переменная называется замещающей, но каким условиям она должна удовлетворять? Замещающая переменная должна выражаться в виде линейной функции (зависимости) от неизвестной (замещаемой) переменной и наоборот последняя также связана линейной зависимостью с замещающей переменной. Важно, что сами коэффициенты линейной зависимости неизвестны. Иначе всегда можно выразить одну переменную через другую и вовсе не использовать замещающей переменной. Оставаясь неизвестными коэффициенты являются обязательно постоянными величинами. Бывает и так, что замещающая переменная используется непреднамеренно (неосознанно).
Включаемые в уравнение множественной регрессии факторы должны объяснить вариацию зависимой переменной. Если строится модель с некоторым набором факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации, который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака (объясняемой переменной) за счет рассматриваемых в регрессии факторов. А как оценить влияние других не учтенных в модели факторов? Их влияние оценивается вычитанием из единицы коэффициента детерминации, что и приводит к соответствующей остаточной дисперсии.
Таким образом, при дополнительном включении в регрессию еще одного фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться . Если этого не происходит и данные показатели практически недостаточно значимо отличаются друг от друга, то включаемый в анализ дополнительный фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором.
Если модель насыщается такими лишними факторами, то не только не снижается величина остаточной дисперсии и не происходит увеличения показателя детерминации, но более того снижается статистическая значимость параметров регрессии по критерию Стьюдента вплоть до статистической незначимости!
Вернемся теперь к уравнению множественной регрессии с точки зрения различных форм, представляющих такое уравнение. Если ввести стандартизованные переменные, представляющие собой исходные переменные, из которых вычитаются соответствующие средние, а полученная разность делится на стандартное отклонение, то получим уравнения регрессии в стандартизованном масштабе . К этому уравнению применим МНК. Для него из соответствующей системы уравнений определяются стандартизованные коэффициенты регрессии b (бета-коэффициенты). В свою очередь коэффициенты множественной регрессии просто связаны со стандартизованными бета-коэффициентами, именно коэффициенты регрессии получаются из бета-коэффициентов умножением последних на дробь, представляющую собой отношение стандартного отклонения результативного фактора к стандартному отклонению соответствующего объясняющего переменного.
В простейшем случае парной регрессии стандартизованный коэффициент регрессии это не что иное, как линейный коэффициент корреляции. Вообще стандартизованные коэффициенты регрессии показывают на сколько стандартных отклонений изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одно стандартное отклонение при неизменном среднем уровне других факторов. Кроме того, поскольку все переменные заданы как центрированные и нормированные, все стандартизованные коэффициенты регрессии сравнимы между собой. Поэтому сравнивая их между собой, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. Следовательно можно использовать стандартизованные коэффициенты регрессии для отсева факторов с наименьшим влиянием на результат просто по величинам соответствующих стандартизованных коэффициентов регрессии.
Теснота совместного влияния факторов на результат оценивается с помощью индекса множественной корреляции, который дается простой формулой: из единицы вычитается отношение остаточной дисперсии к дисперсии результативного фактора, а из полученной разности извлекается квадратный корень:
(9.7)
Его величина лежит в пределах от 0 до 1 и при этом больше или равна максимальному парному индексу корреляции. Для уравнения в стандартизованном виде (масштабе) индекс множественной корреляции записывается еще проще, т.к. подкоренное выражение в данном случае является просто суммой попарных произведений бета-коэффициентов на соответствующие парные индексы корреляции:
(9.8)
Т.о. в целом качество построенной модели оценивают с помощью коэффициента, или индекса детерминации как показано выше. Этот коэффициент множественной детерминации рассчитывается как индекс множественной корреляции, а иногда используют скорректированный соответствующий индекс множественной детерминации, который содержит поправку на число степеней свободы. Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера. Имеется также частный F-критерий Фишера, оценивающий статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении.
Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью t-критерия Стьюдента сводится к вычислению корня квадратного из величины соответствующего частного критерия Фишера, или что то же самое нахождения величины отношения коэффициента регрессии к среднеквадратической ошибке коэффициента регрессии.
При тесной линейной связанности факторов, входящих в уравнение множественной регрессии, возможно возникновение проблемы мультиколлинеарности факторов. Количественным показателем явной коллинеарности двух переменных является соответствующий линейный коэффициент парной корреляции между этими двумя факторами. Две переменные явно коллинеарны, если этот коэффициент корреляции больше или равен 0,7. Но это указание на явную коллинеарность факторов совершенно не достаточно для исследования общей проблемы мультиколлинеарности факторов, т.к. чем сильнее мультиколлинеарность (без обязательного наличия явной коллинеарности) факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью МНК.
Более эффективным инструментом оценки мультиколлинеарности факторов является определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. При полном отсутствии корреляции между факторами матрица парных коэффициентов корреляции между факторами просто единичная матрица, ведь все недиагональные элементы в этом случае равны нулю. Напротив, если между факторами имеется полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен 0. Следовательно, можно сделать вывод, что чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. Чем ближе к 1 этот определитель, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
Если известно, что параметры уравнения множественной регрессии линейно зависимы, то число объясняющих переменных в уравнении регрессии можно уменьшить на единицу. Если действительно использовать подобный прием, то можно повысить эффективность оценок регрессии. Тогда, имевшаяся ранее мультиколлинеарность, может быть смягчена. Даже если такая проблема и отсутствовала в исходной модели, то все равно выигрыш в эффективности может привести к улучшению точности оценок. Естественно такое улучшение точности оценок отражается стандартными ошибками их. Сама линейная зависимость параметров называется также линейным ограничением .
Помимо уже рассмотренных вопросов нужно иметь в виду, что при использовании данных временного ряда не обязательно требовать выполнения условия, что на текущее значение зависимой переменной влияют только текущие же значения объясняющих переменных. Именно можно ослабить это требование и исследовать в какой степени проявляется запаздывание соответствующих зависимостей и такое влияние его. Спецификация запаздываний для конкретных переменных в данной модели называется лаговой структурой (от слова лаг – запаздывание). Такая структура бывает важным аспектом модели, и сама может выступать в роли спецификации переменных модели. Поясним сказанное простым примером. Можно считать, что люди склонны соотносить свои расходы на жилье не с текущими расходами или ценами, а с предшествующими, например, за прошлый год.
Лекция 3. Множественная регрессия
Условия применения метода и его ограничения
Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Поведение отдельных экономических переменных контролировать нельзя, т.е. не удается обеспечить равенство всех прочих условий для оценки влияния одного исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии:
Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели включает два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.
Требования к факторам:
Должны быть количественно измеримы. Если необходимо, включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов).
Не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда
для зависимости
может привести к нежелательным последствиям, повлечь неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель, поэтому параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретированными.
Мультиколлинеарность
Специфическим для многофакторных систем является условие недопустимости слишком тесной связи между факторными признаками. Это условие часто именуется проблемой коллинеарности факторов. Коллинеарность означает достаточно тесную неслучайную линейную корреляцию одних факторов с другими. Часто рекомендуют исключить фактор, связанный с другим фактором при . Из двух тесно связанных друг с другом факторов рационально исключить фактор, слабее связанный с результативным признаком.
Более сложная
методика требуется для нахождения и
исключения фактора, не имеющего тесной
связи с каким-либо отдельным фактором,
но имеющего тесную многофакторную связь
с комплексом остальных факторов. Это
положение называют мультиколлинеарностью.
Для ее измерения следует вычислить
последовательно коэффициенты множественной
корреляции (или детерминации) каждого
фактора
(в роли результата) со всеми прочими
факторами (в роли объясняющих переменных).
Обнаружив мультиколлинеарный фактор
либо несколько таковых, следует
рассмотреть возможность исключения
наиболее зависимого от комплекса
остальных фактора, если это не приведет
к потере экономического смысла модели.
Коллинеарность и мультиколлинеарность факторов в экономических системах возникают неслучайно. В совокупности однородных предприятий или регионов, как правило, в силу законов экономики возникает параллельная вариация факторных признаков: те предприятия, которые имеют лучшие значения одних факторов, например, лучшие природные условия, одновременно имеют и более высокую фондо- и энерговооруженность, более высокую квалификацию персонала, лучшую технологию и т.п. Отсюда и неизбежная большая или меньшая коллинеарность всех факторов производства либо социально-экономических условий жизни.
Наличие в системе коллинеарности ухудшает математические качества модели, может привести к неустойчивости результативных параметров, резко меняющихся при небольшом изменении значений факторов.
Специфичной проблемой многофакторного анализа является вопрос о возможности замены фактора, по которому отсутствует информация, на другой фактор и последствия такой замены.
Следует по возможности найти другую переменную, значения которой известны и которая находится в достаточно тесной связи с отсутствующим фактором. Например, если нет данных по региону о средней заработной плате, то их можно заменить величиной валового регионального продукта на душу населения, имея в виду, что между этими экономическими признаками должна быть тесная (хотя и неизвестная точно) связь.
Важно учитывать, с какой целью строится модель. Если целью является только прогнозирование результативного признака, то замена фактора другой пременной при ее тесной связи с заменяемым фактором не приведет к существенным ошибкам. Но если целью модели являлось принятие менеджером решений о своей экономической политике, то замена управляемого фактора на тесно с ним связанный, однако неуправляемый заменяющий фактор лишает модель смысла, несмотря на высокую детерминацию.
Выбор типа многофакторной модели и факторных признаков
Связь результативного признака y с факторами x 1 , x 2 , …, x k выражается уравнением:
(22)
где a – свободный член уравнения;
k – число факторов;
j – номер фактора;
i – номер единицы совокупности;
b j – коэффициент условно-чистой регрессии при факторе x j , измеряющий изменение результата при изменении фактора на его единицу, и при постоянстве прочих факторов, входящих в модель;
ε i – случайная вариация y i , не объясненная моделью.
Модель в форме (22) является аддитивной. Это означает, что в основе модели лежит гипотеза о том, что каждый фактор что-то добавляет или что-то отнимает от значения результативного признака. Такая гипотеза о типе связи причин и следствия вполне отражает ряд экономических систем взаимосвязанных признаков. Например, если y – это урожайность сельскохозяйственной культуры, а x 1 , x 2 , …, x k – агротехнические факторы: дозы разных видов удобрений, число прополок, поливов, доля потерь при уборке, то действительно, каждый из этих факторов либо повышает, либо снижает величину урожайности, причем результат может существовать и без любых из перечисленных факторов.
Однако аддитивная модель пригодна не для любых связей в экономике. Если изучается такая связь как зависимость объема продукции предприятия y от занимаемой площади x 1 , числа работников x 2 , стоимости основных фондов x 3 (или всего капитала), то каждый из факторов является необходимым для существования результата, а не добавлением к нему. В таких ситуациях нужно исходить из гипотезы о мультипликативной форме модели:
(23)
Такая модель по ее первым создателям получила название «модель Кобба-Дугласа».
Возможна и смешанная форма модели, в которой одни факторы будут входить аддитивно, а другие мультипликативно.
При выборе факторных признаков следует исходить из следующих положений.
Факторы должны являться причинами, а результативный признак – их следствием. Недопустимо в число факторов включать признак, занимающий в реальной экономике место на «выходе» системы, т.е. зависимый от моделируемого. Например, строится модель себестоимости центнера зерна. Факторами взяты урожайность зерновых культур и трудоемкость центнера, но коэффициент детерминации невелик, модель плохая. Для ее «улучшения» в число факторов добавили рентабельность производства зерна. Коэффициент детерминации сразу подскочил до 0,88. Но модель не стала лучше, она стала бессмысленной, так как рентабельность зависит от себестоимости, а не наоборот.
Факторный признаки не должны быть составными частями результативного признака. В ту же модель себестоимости нельзя вводить факторами зарплату в расчете на центнер зерна, затраты на перевозку центнера зерна и т.п. связь целого с ее структурными частями следует анализировать не с помощью корреляционного анализа, а с помощью систем индексов.
Следует избегать дублирования факторов. Каждый реальный фактор должен быть представлен одним показателем. Например, трудовой фактор в модели объема продукции может быть представлен либо среднесписочным числом работников, либо затратами человеко-дней (человеко-часов) на производство продукции, но не обоими показателями. Дублирование факторов ведет к раздроблению влияния фактора, и он может оказаться ненадежным из-за такого раздробления.
Следует по возможности избегать факторов, тесно связанных с другими.
Следует включать факторы одного уровня иерархии, не следует включать и факторы вышележащего уровня и их субфакторы. Например, в модель себестоимости зерна включаем урожайность, трудоемкость, но не добавляем еще балл плодородия, дозу удобрений, энерговооруженность работников, т.е. субфакторы – причины, влияющие на урожайность и трудоемкость. Включение субфакторов тоже дублирование фактора.
Есть логика в таком построении модели, при котором все признаки отнесены на одну и ту же единицу совокупности, как результативный признак, так и факторы. Например, если моделируется объем продукции предприятия, то и факторы должны относиться к предприятию: число работников, площадь угодий, основные фонды и т.д. Если строится модель заработной платы работника, то и факторы должны относиться к работнику: его стаж, возраст, образование, разряд тарифной сетки (шкалы), энерговооруженность и т.д.
Действует принцип простоты модели. Если возможно построить хорошую модель с пятью факторами, то не следует гнаться за идеальной моделью с десятью факторами, обычно лишние факторы ухудшают модель.
Системы показателей многофакторной корреляции и регрессии
Рассмотрим данную систему показателей на примере связи урожайности зерновых культур в 51 агрофирме Орловской области. Первоначально были отобраны 8 факторных признаков, которые могут влиять на вариацию урожайности:
x 1 – размер посевной площади зерновых, га;
x 2 – удельный вес зерновых в общей площади, %;
x 3 – затраты на 1 га посева зерновых, тыс. руб./га;
x 4 – затраты труда на 1 га, чел.-ч;.
x 5 – уровень оплаты труда, руб./чел.-ч.;
x 6 – энергообеспеченность, л.с./100 га пашни;
x 7 – число комбайнов на 1000 га зерновых, шт.;
x 8 – число трактористов-машинистов на 100 га пашни, чел.
Первоначальное уравнение регрессии имеет вид:
Однако надежно отличными от нуля оказались только коэффициенты при x 3 (t -критерий равен 10,5) и при x 8 (t -критерий равен 2,72). Большую надежность, чем другие факторы имеет и x 5 .
После отсева ненадежных факторов, т.е. исключения их из уравнения, окончательное уравнение регрессии таково:
Таким образом, на различие урожайности в данных 51 агрофирмы сильнее всего и надежно повлияли различия между предприятиями в затратах на 1 га, в уровне оплаты труда и в обеспеченности квалифицированными работниками.
Каждый из коэффициентов, называемых коэффициентами чистой регрессии, интерпретируются как величина изменения урожайности при условии, что данный фактор изменяется на принятую единицу измерения, а два других фактора остаются постоянными на средних уровнях. Например, b 3 означает, что при увеличении затрат на 1 га зерновых и при неизменности оплаты труда и обеспеченности трактористами-машинистами урожайность в среднем увеличивалась в среднем на 4, 6 ц/га. Термин «условно чистая регрессия» означает, что влияние отдельного фактора очищено от сопутствующей вариации только тех факторов, которые входят в уравнение, но не очищено от возможной сопутствующей вариации других факторов.
Величина коэффициентов условно чистой регрессии зависит от принятых единиц измерения. Если бы фактор x 3 измерялся не в тысячах рублей на гектар, а в рублях на гектар, то коэффициент b 3 был бы равен 0,00461 руб./га. Следовательно, сравнивать между собой коэффициенты условно чистой регрессии нельзя. Чтобы получить сравнимые коэффициенты влияния вариации факторов на вариацию результата, следует избавиться от единиц измерения, привести к одной условной единице. Для этого можно применить два способа.
Первый способ называется стандартизацией. Этот термин возник из английского названия среднего квадратического отклонения (Standard deviation). Стандартизированные коэффициенты регрессии выражаются в долях или величинах, если они превышают единицу – в величинах σ y . Стандартизированные коэффициенты обозначают греческой буквой β и называют бета-коэффициентами. Их формула такая:
В нашем примере получаем:
β 3 = 0,772;
β 5 = 0,147;
β 8 = 0,223.
Интерпретация бета-коэффициентов такова: при изменении фактора x 3 на одно его среднее квадратическое отклонение от средней величины и при постоянстве других факторов результативный признак (урожайность) отклонится от своего среднего уровня на 0,772 его среднего квадратического отклонения. Так как все стандартизированные коэффициенты выражены в одинаковых единицах измерения, в σ y , они сравнимы между собой, и можно сделать вывод, что на вариацию урожайности сильнее всего повлияла в изучаемой совокупности предприятий вариация затрат на гектар посева.
Другой способ приведения коэффициентов регрессии к сравнимому виду – их преобразование в коэффициенты эластичности. Формула коэффициента эластичности ℓ j :
(25)
Интерпретируется коэффициент эластичности следующим образом: при изменении фактора x j на его среднюю величину и при постоянстве других входящих в уравнение факторов результативный признак в среднем изменится на ℓ j части его средней величины (или на ℓ j средних, если ℓ j >1, что бывает реже). Часто говорят, «изменится на ℓ j процентов на 1% изменения фактора».
В нашем примере имеем:
Коэффициенты
эластичности так же выражены, как и β j
,
в одинаковых единицах и сравнимы между
собой. Ими удобнее, чем β-коэффициентами,
пользоваться в планировании и
прогнозировании. Вряд ли менеджер станет
планировать увеличение фактора, скажем,
инвестиций на 0,6 сигмы. Обычно планируют
изменение факторов, если они управляемы,
на столько-то процентов от достигнутого
уровня. Например, если планируем увеличить
затраты на гектар зерновых на 10%, оплату
труда на 30%, а обеспеченность
квалифицированными трактористами-машинистами
на 20%, то можно ожидать изменения
урожайности на
,
где k
j
– планируемые темпы прироста факторов.
Теперь рассмотрим систему показателей тесноты многофакторных связей. Прежде всего строится матрица парных коэффициентов корреляции (табл. 1).
Таблица 1. Матрица парных коэффициентов корреляции
|
Признаки |
x 3 |
x 5 |
x 8 |
|
|
x 3 |
||||
|
x 5 |
||||
|
x 8 |
Матрица парных коэффициентов корреляции дает исходные данные для других показателей тесноты связи и для первичной проверки на коллинеарность. В данном случае все связи между факторами слабые, коллинеарность не испортит модель.
Важнейшим показателем тесноты связи в многофакторной системе является коэффициент множественной детерминации R 2 . Он измеряет общую тесноту связи вариации результативного признака y с вариацией всей системы входящих в модель факторов. Величина коэффициента множественной детерминации может быть вычислена несколькими способами.
1.Вычисление на основе матрицы парных коэффициентов корреляции
,
где Δ * - определитель матрицы;
, (26)
а Δ – определитель матрицы, не включающей первой строки Δ * и ее последнего столбца, т.е.:
При двух факторах получается упрощенная формула расчета:
(27)
Из (27) следует, что при независимости факторов друг от друга, т.е. , коэффициент множественной детерминации есть сумма парных коэффициентов детерминации.
Пользуясь формулой (27), можно вычислить три возможных двухфакторных коэффициента детерминации:
2.Вычисление на основе парных коэффициентов корреляции и β-коэффициентов:
В примере: R 2 =0,86·0,772+0,35·0,147+0,433·0,223=0,8119.
3.Вычисление как корреляционное отношение, т.е. отношение вариации результативного признака y , связанной с вариацией системы факторов, входящих в модель (в уравнение регрессии), ко всей, общей, вариации результативного признака:
. (30)
Числитель формулы (30) – это сумма квадратов отклонений индивидуальных расчетных значений результативного признака от его средней, а знаменатель – сумма квадратов фактических значений результативного признака от средней, для всех единиц совокупности.
Частными коэффициентами детерминации называются показатели, измеряющие, на какую долю уменьшается необъясненная вариация уже имеющимися в модели факторами при включении в модель данного фактора x m . Формула частного коэффициента детерминации такова:
В нашем примере:
Интерпретация такова: включение в модель фактора x 3 после x 5 и x 8 y на 74%; включение фактора x 5 после x 3 и x 8 уменьшает необъясненную вариацию y на 10%; включение фактора x 8 после x 3 и x 5 уменьшает необъясненную вариацию y на 20%.
Коэффициенты частной детерминации несравнимы между собой, так как это доли разных величин-знаменателей.
Извлекая корень квадратный из любого коэффициента детерминации, получают коэффициент соответствующей корреляции: множественной, парной или частной.
5. Включение в многофакторную модель неколичественных факторов
Неколичественными являются такие факторы аграрного производства, как природная зона, форма собственности предприятий, преобладающее производственное направление (отрасль) и другие. Предпочтительно не смешивать в исходной совокупности предприятия или регионы, различающиеся по этим качественным признакам. Но может возникнуть и необходимость построения модели с неоднородными единицами совокупности, например, если число единиц, однородных по качественному признаку, слишком мало для надежной связи. Иногда может быть поставлена цель измерения чистого влияния неколичественного фактора, например, формы собственности на результаты производства, а это требует включения качественного фактора в многофакторную модель.
В таких случаях качественные градации признака можно закодировать специальными переменными, часто называемыми «фиктивными» или «структурными» переменными. Они отражают неоднородность качественной структуры совокупности. Предположим, необходимо построить регрессионную модель рентабельности продукции предприятий, причем в регионе имеется 16 государственных предприятий, 28 частных, 13 кооперативной формы собственности.
Если игнорировать различия, связанные с формой собственности, то они или уйдут в остаточную вариацию, ухудшив модель рентабельности, либо в неизвестной пропорции станут смешиваться с влиянием тех или иных качественных факторов, искажая меру их влияния.
Необходимо для m неколичественных факторов или градаций такового фактора ввести m -1 структурную переменную, обозначим которую U j . Данные для расчета будут иметь следующий вид при m =3 (табл. 2).
Таблица 2. Исходные данные со структурными переменными
|
Форма собственности |
Единица совокупности |
Количественные признаки |
Структурные переменные |
|||||
|
X 1 |
X 2 |
X k |
U 1 |
U 2 |
||||
|
Государственная |
Значения этих признаков |
|||||||
|
Значения этих признаков |
||||||||
|
Кооперативная |
Значения этих признаков |
|||||||
В результате решения будет получена модель вида:
где x k +1 соответствуют переменной U 1 , а x k +2 – переменной U 2 .
Перепишем модель в специальных обозначениях:
Значение коэффициентов при структурных переменных таково: коэффициент c 1 означает, что предприятия частной формы собственности при тех же значениях количественных факторов x 1 … x k имеют рентабельность на c 1 больше, чем государственные предприятия, которые приняты за базу сравнения (не имеют структурных переменных U 1 и U 2 ). Предприятия кооперативной формы собственности имеют рентабельность на c 2 большую, чем государственные. Величины c 1 и c 2 могут быть как положительными, так и отрицательными.
Вместо общей модели можно записать три частные модели для предприятий отдельных групп по формам собственности, присоединяя коэффициент при структурной переменной к свободному члену уравнения:
а) для предприятий государственного сектора
б) для предприятий частного сектора
в) для предприятий кооперативного сектора
6.Применение многофакторных регрессионных моделей для анализа деятельности предприятий и прогнозирования
Оценка деятельности на основе регрессионной модели в сравнении с простейшим приемом такой оценки – сравнением результата, достигнутого данным предприятием, со средним результатом по однородной совокупности – дает дополнительные преимущества.
Согласно нашему примеру, средняя урожайность по 51 агрофирме составила 22,9 ц/га зерна.
Агрофирма 1 получила 17,6 ц/га. Следовательно, эта фирма отстающая. Однако возникает вопрос: может быть и условия производства у этой фирме были хуже средних? Сравнение со средней по совокупности полностью игнорирует различие в «факторообеспеченности» предприятий, а на самом деле предприятия всегда находятся не в одинаковых условиях.
Оценка деятельности на основе регрессионной модели предполагает учет неравенства условий производства, например, плодородия почв, финансового положения, наличия квалифицированных кадров и другие. Полностью учесть различие в условиях производства между предприятиями невозможно, так как любая модель учитывает не все факторы вариации урожайности. Оценка на основе модели производится сравнением фактического результата (урожайности) с тем результатом, который был бы достигнут предприятием при фактически имеющихся факторах и средней по совокупности их эффективности, выраженной коэффициентами условно чистой регрессии. Рассмотрим результаты расчета урожайности двух фирм (табл. 3).
Таблица 3. Фактический и расчетный результат производства
|
Агрофирма |
Факторные признаки |
Урожайность, ц/га |
|||
|
x 3 |
x 5 |
x 8 |
фактическая |
расчетная
|
|
|
Средняя по выборке |
|||||
Обе фирмы имеют худшие, чем в среднем в выборке, значения основных факторов x 3 и x 8 , а соответственно и значения расчетной урожайности ниже, чем средняя. Но при этом фирма 1 практически имеет ту же расчетную урожайность, что и фактически полученную. Нет основания считать эту фирму отстающей. Фирма 2 имеет фактическую урожайность ниже, чем расчетная по имеющимся факторам. Это означает, что либо у этой фирмы оказались хуже среднего неизвестные, не входящие в модель факторы, либо степень использования основных факторов – затрат на гектар и обеспеченность квалифицированными работниками ниже, чем в среднем.
Прогнозирование на основе регрессионной модели исходит из предположения, что факторы управляемы и могут принять то или иное плановое, ожидаемое значение, а прочие неизвестные условия сохранятся на среднем по совокупности уровне. Управляемость факторов не означает, что при прогнозе в модель можно подставлять любые их значения. Уравнение регрессии отражает те условия, которые существовали в совокупности, по данным которой уравнение получено. Если бы значения факторных признаков были в 2-3 раза более высокими, то нельзя утверждать, что коэффициенты условно чистой регрессии остались бы теми же.
Поэтому рекомендуется при прогнозировании по уравнению регрессии не выходить за пределы реально наблюдаемых значений факторов в совокупности или выходить за эти границы не более чем на 10-15% средних величин. Не менее важным требованием при прогнозировании является требование о соблюдении системности прогнозируемых значений факторов. Необходимо учитывать знак и тесноту связи между факторами. Например, если прогнозируется повысить степень обеспеченности квалифицированными работниками, то нельзя оставить без изменения, тем более снижать, прогнозируемую величину уровня оплаты труда. Планируя рост энерговооруженности, необходимо примерно в той же пропорции увеличить и фондовооруженность.
Ориентируясь на указанные в таблице 3 значения факторов, предположим, что прогнозируя урожайность, планируем затраты на гектар (x 3 ) на уровне 3 тыс. руб., наличие трактористов-машинистов на 100 га пашни 0,8; оплату часа труда в размере 20 руб. в час. Подставляя эти значения в регрессионную модель получим точечный прогноз урожайности зерновых культур:
Точечный прогноз представляет собой математическое ожидание (среднюю) возможных с разной вероятностью значений прогнозируемого признака. Необходимо дополнить точечный прогноз расчетом доверительных границ с достаточно большой вероятностью. Для этого следует использовать величину средней квадратической ошибки аппроксимации, которая вычисляется по формуле:
(33)
Числитель подкоренного выражения – это остаточная, не объясненная моделью сумма квадратов отклонений результативного признака, а знаменатель – число степеней свободы остаточной вариации. В нашем примере остаточная сумма квадратов отклонений равна 814,3. Имеем:
Следовательно, с надежностью 0,95 прогнозируемая урожайность составит 25,4±4,16·2, или от 17,8 до 33,72 ц/га. Все эти расчеты относятся к прогнозам урожайности для отдельных агрофирм. Если речь идет о средней урожайности по совокупности 51 агрофирмы, то средняя ошибка средней арифметической величины равна среднему квадратическому отклонению, деленному на корень квадратный из объема выборки n , т.е. составит:
Интерпретация этого значения ошибки прогноза средней величины такова: если обеспечить 51 агрофирму факторами x 3 , x 5 , x 8 на уровнях соответственно 3, 20, 0,8, то будет получена средняя по совокупности урожайность 25,4±0,583 ц/га. С вероятностью 0,95 средняя по совокупности ожидаемая урожайность составит 25,4±0,583·2, или от 23,7 до 27,1 ц/га.
Эконометрической корреляционно-регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков изучаемой совокупности является такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию результативного признака в совокупности, обладает высоким значением коэффициента детерминации (не ниже 0,5), надежными и правильно интерпретируемыми в соответствии (по знаку и по порядку величины) с теорией изучаемой системы коэффициентами регрессии, и в силу данных свойств пригодное для оценки деятельности единиц совокупности и для прогнозирования.
Множественной регрессии (2)Реферат >> Маркетинг
Вводя их в модель, т.е, построить уравнение множественной регрессии . Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса...
