Е.В. Петрова,учитель математики СОШ №25 г. Владимира
Доказательство - это рассуждение, которое убеждает. (Ю.А. Шиханович)
Изучение и доказательство теорем.Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся, важное место в котором отводится умению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике. Формирование алгоритмического, эвристического, абстрактного мышления учащихся осуществляется также главным образом в процессе доказательства. Обучение математике предполагает обучение способам деятельности по приобретению знаний, что требует выявления и освоения в процессе обучения математике различных схем используемых в математике рассуждений. В опытных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и экспериментам, чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначе дело обстоит в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выведена из других предложений. Поэтому проблема обучения учащихся доказательству всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики.
В настоящее время, идущий процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, на формирование нравственности, чему способствует обучение доказательству, где важная роль отводится обучению поиска способов доказательства, их сравнения, выбора наиболее простого из них.
Что значит доказать теорему, что такое доказательство?
Когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело - это уже другой вопрос).
Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения. Основную нагрузку по формированию у учащихся умения доказывать несёт курс геометрии. Д. Пойа указывал на важную роль, которую играют доказательства при построении геометрической системы: «Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы». Исторически сложилось так, что геометрия как учебный предмет имеет большое значение для изучения окружающего мира и создаёт благоприятные условия для приобщения учащихся к творческой исследовательской деятельности. Изучение геометрии способствует развитию умения доказывать, т.е. умения логически мыслить и рассуждать. Развитие логического мышления происходит в ходе изучения приводимых в учебниках и учителем доказательств теорем, при решении задач. Что значит доказать теорему, что такое доказательство? Доказательство в широком смысле - это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений. В математике недопустимо ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.
Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т.д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемою теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.
Процесс доказательства – сложный процесс мышления, и он формируется лишь постепенно, от простых к более сложным структурам. Следовательно, обучение доказательству представляет собой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленными связями между различными ее составляющими.
К 13 – 14 годам мозг школьника становится способным овладеть абстрактным, обоснованным, рассуждающим мышлением. Развитие доказательного мышления, отмечает П. П. Блонский, проходит две стадии. В подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их: в этом возрасте доказывание скорее дело памяти. В юношеском же возрасте уже заметно выступают критическое мышление к даваемым доказательствам и стремление к своим доказательствам. Все вышесказанное приводит к выводу о необходимости исследования индивидуальных познавательных стратегий школьников при изучении и доказательстве теорем.
Над этой проблемой я работаю первый год. Сначала я определила цель, задачи и гипотезу исследования.
Цель: выявить и развить индивидуальные стратегии изучения и доказательства теоремы в 8 классе.
Задачи:
1. Выявить индивидуальные стратегии изучения и доказательства теорем на основе вопросника (с элементами листа анализа).
2. Развить индивидуальные стратегии учащихся через обсуждение полученных результатов, создание банка успешных действий при выполнении изучения и доказательства теорем.
3. Разработать советы по успешному изучению теорем по геометрии.
4. Проанализировать результаты освоения учащимися теорем до и после применения технологии ЦРПС, разработать и апробировать памятку успешной деятельности учеников.
Гипотеза: осмысление учащимися собственных действий при изучении теорем позволит развить навыки доказательстваирешения задач по геометрии, достичь более высоких результатов обучения.
Школьные учебники геометрии показывают готовое доказательство теорем, но не обучают самому процессу доказательства. Учащиеся нередко испытывают трудности в усвоении теорем и воспроизведении их доказательств . Хорошо известен страх многих учащихся перед словом «теорема». Преодолеть его помогает целенаправленная работа в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина. Чтобы обеспечить усвоение теорем, их доказательств и научить самостоятельно решать задачи по геометрии, в соответствии с этой теорией необходимо организовать самостоятельную деятельность учащихся. Необходимо научить учащихся доказывать теорему самостоятельно.
Под обучением доказательству надо понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску других путей доказательств, а также опровержению выдвинутых предложений.
Свой эксперимент я начала с вопроса, на который получила неожиданный ответ.
На первом этапе учащимся было предложено описать действия, которые они совершают при знакомстве и доказательстве теоремы. В результате были получены следующие варианты:
***
Читаю по учебнику теорему.
Учу.
В классе доказываю теорему.
***
Учу, как стихотворение. Когда рассказываю, то боюсь сбиться.
. ***
1.Учу по учебнику теорему.
2. Кратко записываю для себя доказательство.
3. Доказываю теорему, используя записи.
4. Рассказываю доказательство маме.
5. В классе доказываю теорему учителю.
После анализа индивидуальных стратегий я поняла, почему ребятам сложно доказать теорему. Это происходит потому, что они в принципе не понимают, что значит « выучить теорему». Далее, я выявила причины затруднений. Это и плохое качество знаний, неумение их применять, неосознанность умственных операций, неумение устанавливать связи между логическими шагами, слабая мотивация и т.д. Реализация требования «доказать теорему» предполагает ряд действий. Без овладения этими действиями в мышлении ученика не возникнет ассоциаций, которые позволили бы ему продвигаться в доказательстве теорем. К числу таких мыслительных операций относятся: выделить условие и заключение теоремы, зафиксировать их словесно и графически, разбить доказательство на части, каждую из которых проанализировать, сделать выводы и двигаться дальше. Следовательно, необходимо сформировать у учащихся в мышлении нужные для осуществления доказательства действия.
При изучении теоремы« Первый признак подобия треугольников», я составила для учащихся вопросник. Эти вопросы заставили задуматься над содержанием теоремы, над этапами доказательства, вызвав при этом в мышлении учащихся нужные ассоциации.
Вопросник.
С какого действия начали знакомство с теоремой?
Как вы понимаете, что это теорема?
Что мотивирует вас на изучение доказательства теоремы?
Сколько раз прочитали теорему?
Что дано?
Что надо доказать?
Поможет ли чертеж при доказательстве теоремы?
С чего вы начали изучать доказательство теоремы?
Можно ли доказательство теоремы разбить на части?
Знание каких фактов,теорем, определений вам пригодилось?
Что вам мешало при доказательстве теоремы?
А что помогало доказать теорему?
Как вы поняли, что теорема доказана?
Какое открытие вы для себя сделали?
Вы довольны? Что вы при этом испытываете?
Какие советы вы могли бы дать тем,кому предстоит изучать теорему ?
Вот некоторые из ответов на данные вопросы.
Юля:
Открыла учебник, нашла теорему, познакомилась зрительно.
Прочитала.
Стала изучать, т. К. мне интересно.
2 раза прочла теорему.
Дан первый признак подобия треугольников.
Что, если 2 угла одного треугольника равны 2 соответственным углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Да.
С текста.
Да.
Да.
Несосредоточенность, много новых слов.
Чертеж.
Когда поняла о чем теорема, посмотрела доказательство.
-----------
Антон:
С открытия учебника.
Там написано, что это теорема.
Знание теоремы и оценка.
2 раза.
Два треугольника.
Подобие треугольников.
Да.
С прочтения.
Да.
Теорема об отношении площадей подобных треугольников.
Незнание некоторых нужных фактов.
Помогла память.
В учебнике написано, что теорема доказана.
Я узнал новую теорему.
Да, я доволен.
Быть внимательным.
Алина:
Я ищу нужную мне теорему в учебнике, читаю ее, пытаюсь вникнуть в текст.
Я понимаю, что это теорема, т. к. к правилу дано доказательство этого факта.
Умение и понимание решения задач.
Я перечитываю теорему, пока не запомню ее, раза 4 -6.
Даны 2 треугольника, обозначены равные углы.
Подобие этих двух треугольников.
Чертеж поможет мне лучше понять, что нужно доказать и разобраться с условием.
Сначала я прочитаю все доказательство, потом сделаю чертеж и, внимательно вчитываясь, начну разбирать доказательство.
Что дано – подход к решению проблемы – доказательство – вывод.
Мне помогла с доказательством теорема о сумме углов треугольника, определение подобных треугольников, теорема об отношении площадей подобных треугольников.
Ничего не мешало.
Знание определения о подобных треугольниках, знание других теорем и фактов.
Дан вывод, и когда мы получили то, что нужно было доказать, заканчиваю словами «теорема доказана».
Я открыла для себя новый признак подобия треугольников и впервые сама смогла разобрать доказательство новой теоремы.
Учите теорему в тишине, вникая в текст. Сначала выучите формулировку теоремы, вспомните материал, который может помочь при доказательстве.
Виктория:
Открыла учебник, нашла нужную мне теорему, прочитала ее, стараясь запомнить ее.
Это предложение, которое надо доказать.
Меня мотивирует: а) получение хорошей оценки, т. к. это очень важно моим родителям и моему будущему; б) Изучение теорем развивает логическое мышление, а логика нужна при решении задач по геометрии. Значит, изучая теоремы, я учусь решать задачи.
Дано: 2 треугольника, равные углы в них.
Надо доказать, что два треугольника подобны.
Да. Чертеж мне очень помогает при доказательстве теорем и решении задач. Иногда чертеж подсказывает решение задачи.
Я прочитала несколько раз доказательство теоремы по учебнику, кратко записала его в тетрадь, а затем попыталась устно повторить теорему и доказательство.
Можно, на 2 части.
Мне пригодились знания, которые были получены мною ранее, даже из 7 класса.
Мне ничего не мешало. Главное знать, зачем все это надо.
В доказательстве теоремы мне помог учебник и огромное желание знать то, что еще мне не ведомо.
Логически определила, что доказывать больше нечего.
Сама теорема для меня уже открытие, я же не знала этого свойства раньше.
Довольна, что смогла доказать теорему, чувство удовлетворения, чувство гордости, что я все поняла.
Внимательно прочитай теорему и доказательство, попытайся понять их, прочитай несколько раз, докажи теорему кому-нибудь или зеркалу, я бы посоветовала иметь этот вопросник перед собой – помогает.
Используя этот вопросник ребята сами доказывали теорему. Для учеников данная работа была необычной, интересной и трудной. Мы рассмотрели и обобщили все ответы, отметив их разнообразие, выявили наиболее рациональные действия при выполнении данной работы. На следующий урок все опрошенные учащиеся смогли доказать теорему на положительные отметки.
Далее мы с учениками обсудили стратегии изучения и доказательства теоремы, выявили общие и различные закономерности их действий, создали банк успешных действий, назвав итоговую работу «Мои шаги».
Второй признак подобия треугольников ребята доказали сами, используя перечень «Мои шаги». А вот при изучении третьего признакаподобия (этот урок записан на видео, а конспект урока приведен ниже),мы смогли составить памятку доказательства теоремы, которую успешно применяли при доказательстве других теорем как в этом классе так и в другом классе данной параллели.
Памятка.
При изучении и доказательстве теорем надо:
Заменить термины в теореме определениями понятий, которые они обозначают или их признаками.
Развести элементы условия и заключения словами «дано» и «доказать».
Записать все известные величины в графу «Дано».
В графу «Доказательство» записать, что необходимо доказать.
Сделать четкий и аккуратный чертеж. Отметить на нем латинскими буквами то, что изначально известно.
Разбить теорему на части.
Доказать каждую часть по отдельности.
Закончить доказательство выводом «следовательно, первоначальное утверждение верно, теорема доказана».
Закрой учебник, докажи кому-нибудь теорему, попробуй.
Положив памятку перед собой, теперь любой ребенок может самостоятельно разобраться с теоремой и доказать ее. Эта памятка помогает извлекать информацию из условия теоремы, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, делать самостоятельные выводы, формировать требования каждого этапа доказательства, в процессе работы оценивать свои знания, ликвидировать «пробелы». Не меньший интерес наша работа вызвала у моих коллег – математиков.
Использование технологии ЦРПС позволило добиться положительной динамики в изучении и доказательстве теорем в геометрии. Теперь все ученики 8 класса понимают, что означают слова учителя «выучить теорему». Ребят стала привлекать самостоятельная познавательная деятельность, у них изменилась мотивация, появилась уверенность в себе и собственных силах, возникло ответственное отношение к собственной деятельности. Вот одна из стратегий успешного изучения и доказательства теоремы после знакомства с основными принципами ЦРПС:
Саша:
Внимательно читаю теорему по учебнику.
Вчитываюсь в каждое слово, отмечая новые термины, словосочетания.
Читаю доказательство.
Определяюсь, понятно ли мне все.
Если что-то непонятно, вновь читаю, обращая внимание на каждое слово.
Если все понятно, то выясняю и записываю, что дано и что надо доказать.
Делаю чертеж, соответствующий условию теоремы с указанием всех данных.
Перечитываю вновь внимательно доказательство.
Стараюсь поделить доказательство на логические части.
Доказываю теорему по частям, делая необходимые выводы.
Еще раз читаю теорему.
Закрыв учебник, используя чертеж, доказываю теорему.
Все, теорему выучил и доказал!
Теперь постараюсь применить знания, полученные в ходе изучения теоремы.
Проведенные наблюдения, анализ стратегий, беседы с учащимися позволили определить и перспективы работы – необходимость исследования стратегии эвристического доказательства теорем, доказательства методом «от противного».
Разработка урока
Предмет: геометрия.
Учитель: Петрова Елена Владимировна
Класс: 8 «г»
Тема урока: третий признак подобия треугольников.
Цель урока: составить памятку по изучению и доказательству теорем, апробировать ее при изучении третьего признака подобия треугольников.
Задачи урока, сформулированные на деятельностной основе:
- воспитательная: развитие мотивации для изучения геометрии; формирование уважительного отношения к иному мнению, к иной точке зрения; развитие самостоятельности в решении личностных проблем.
-учебная : Составить памятку, способствующую успешному изучению и доказательству теорем, применить ее для самостоятельного изучения
третьего признака подобия треугольников.
- развивающая: формировать умение анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать, систематизировать, объяснять понятия и доказывать их.
Этап
Название этапа
Задачи
Деятельность учителя (методы и приёмы обучения)
Деятельность ученика (формы организации УПД)
Ожидаемый результат (знания, умения, способы деятельности)
Мотивирование к учебной деятельности
Создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность
У меня есть два треугольника. Стороны одного из них 3 см, 5см и 4 см, а другого 12 см, 20 см и 16 см. Как выяснить, подобны ли эти треугольники?
Проанализировать ситуацию, потытаться решить проблему.
Ученики задумаются над решением этой задачи, но решить не смогут.
Выявление места и причины затруднения.
Выяснить причины: почему мы не можем ответить на поставленный вопрос?
Организовать деятельность учеников так, чтобы подвести их к причине затруднения.
В процессе обсуждения ученики выясняют, что им мешает решить эту задачу, а что могло бы помочь выйти из затруднительного положения.
Ученики осознают, что для решения проблемы, у них недостаточно знаний
Построение проекта выхода из затруднения.
Помочь ученикам найти выход из ситуации
Учитель помогает в постановке цели с помощью подводящего диалога, побуждения к действию.
Учащиеся ставят цели и выбирают способ для достижения цели – изучить еще один признак подобия треугольников.
Проанализировав ситуацию, приходим к выводу о необходимости создания памятки по изучению и доказательству теорем.
Реализация намеченного плана
Создать универсальную памятку.
Учитель руководит процессом
Учащиеся составляют индивидуально свою памятку на основе «мои шаги», выявленных на предыдущих уроках, чтоб успешно изучить теорему; а затем в процессе обсуждения создаем универсальную памятку.
Создание памятки для успешного доказательства лябой теоремы по учебнику.
Реализация построенного проекта.
Разобрать по учебнику третий признак подобия треугольников.
Учитель руководит процессом
Ученики по учебнику разбирают новую для нх теорему и с помощью памятки описывают ее доказательство в тетрадь.
Теорема разобрана и ее доказательство записано в тетрадь.
Первичное закрепление с программированием во внешней речи
Выяснить все непонятные моменты в теореме
Учитель помогает учащимся, фиксируя преодоление возникших затруднений.
Соотносят записи в тетради с планом доказательства, выясняют возникшие вопросы и делают выводы.
.Проанализировать проделанную работу и устно разобрать доказательство
Включение в систему знаний и повторение.
Доказать третий признак подобия треугольников.
Учитель предлагает, используя составленную памятку, доказать теорему у доски.
Ученики по своему желанию доказывают теорему у доски.
Кто-то из ребят сможет ответить у доски.
Рефлексия учебной деятельности на уроке.
Фиксирует степень достижения цели.
Ученики понимают, что теперь и эта задача решаема, т.е. поднимается самооценка ученика.
Ученикам понравится такой вид деятельности и они поймут, что именно такой подход к изучению и доказательству теоремы наиболее эффективен.
Когда-то геометрия олицетворяла всю математику. Геометрия, как и всякая наука, возникла под влиянием жизненных потребностей. Необходимость повседневного удовлетворения их ставит человека перед целым рядом вопросов о форме окружающих его предметов, вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т. д. Слово "геометрия" означает "землемерие" и ясно указывает на источник его происхождения.
Имеются вполне достоверные сведения о значительном развитии геометрических знаний в Египте более чем за две тысячи лет до нашей эры. Узкая плодородная полоса земли между пустыней и рекой Нилом ежегодно подвергалась затоплению, и каждый раз разлив смывал границы участков, принадлежавших отдельным лицам. После спада воды требовалось с возможно большей точностью восстановить эти границы, ибо каждый из участков ценился весьма высоко. Это заставило египтян заниматься вопросами измерения, то есть землемерием. Помимо этого, они вели развитую торговлю и поэтому нуждались в умении измерять емкость сосудов. Искусство кораблевождения привело их к астрономическим сведениям. Выдающиеся постройки египтян - пирамиды, которые сохранились до нашего времени, свидетельствуют, что их сооружение требовало знания пространственных форм. Все это указывает на чисто опытное происхождение геометрии.
Но математика росла и развивалась, особенно бурно последние 200 лет. Возникли новые направления: математический анализ, теория множеств, топология, совсем иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако некоторые математики начали в последнее время относить ее к числу второстепенных математических направлений. Это мнение нашло свое отражение и в содержании школьных программ по математике, как в США, так и в ряде других стран.
Возможно тот факт, что в школьной программе геометрия занимает одно из последних мест, объясняется тем, что педагоги мало знают о природе геометрии и об успехах, которые были достигнуты ее исследователями. Я имею в виду многие блестящие результаты, такие, как теорема Фейрбаха, теореме Чевы, теорема Менелая и т. д.
Элементарная геометрия – часть геометрии, входящая в элементарную математику. Границы элементарной геометрии, как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что элементарная геометрия есть та часть геометрии, которая изучается в средней школе; это определение, однако, не только не вскрывает содержания и характера элементарной геометрии, но и никак ее не исчерпывает, так как в не включается обширный материал, лежащий вне школьных программ (например, аксиоматика, сферическая геометрия). можно сказать, что элементарная геометрия есть исторически и, соответственно, логически первая глава геометрии (поскольку из нее развились другие геометрические направления); в свои основах она сложилась в Древней Греции, и изложение ее основ дают уже «Начала» Евклида (3 в. до н. э.). Такое историческое определение закономерно, но и оно также не уточняет общего содержания и характера элементарной геометрии, тем более, что развитие ее продолжается и в настоящее время. Потому определение элементарной геометрии может быть раскрыто и дополнено.
Элементарная геометрия исходит из простейших фигур – точка, отрезок, прямая, угол, плоскость, и основного понятия о равенстве отрезков или углов или вообще о совмещении фигур при наложении, чем определяется их равенство.
Предмет элементарной геометрии составляют:
1) фигуры, определяемые конечным числом простейших фигур;
2) фигуры, определенные тем или иным свойством, формулируемым в исходных понятиях.
Изучаемая в школе геометрия является иллюстрацией метода построения теории, которая получила название аксиоматического метода.
К началу III в. до н. э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательства, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. система Эвклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменения до XIX века н. э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматический метод, и на рубеже XIX – XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков.
К середине XIX века, как уже было отмечено, основания евклидовой геометрии оставались на том же уровне, как они были изложены в работах Евклида. Однако общая тенденция к повышению математической строгости во второй половине XIX века побудила многих авторов к пересмотру основ геометрии с целью предложить полную, непротиворечивую, независимую систему аксиом. наибольшее признание среди различных сформулированных систем получила аксиоматика немецкого Давида Гильберта, изложенная в его книге «Основания геометрии» в 1899 г. Ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественны образом, что логическая структура геометрии становилась совершенно прозрачной: три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением – принадлежности, порядка, равенства. Такое расчленение позволило, во-первых, формировать аксиомы кратким и простым образом; во-вторых, исследовать, как далеко можно развить геометрию, если положить в основу не всю аксиоматику, а только ту или иную ее группу. При этом система задавала действительно абстрактную теорию, в которой объекты и отношения между ними – это просто какие-то мыслимые «вещи», про которые известно только то, что они удовлетворяют аксиомам.
Элементарная геометрия включает те вопросы геометрии, которые в своей постановке и решении не включают общей концепции бесконечного множества, но лишь конструктивно определенные множества (геометрические места). Когда говорят, что евклидова геометрия основана, скажем, на системе аксиом Гильберта или на иной, близкой по характеру системе аксиом то забывают, что при введении общих понятий кривой выпуклого тела длины и др. Фактически используют способы образования понятий, вовсе не предусмотренные в аксиомах, а опирающихся на общую концепцию множества, последовательности и предела, отображения или функций. То, что выводится из аксиом Гильберта без таких добавлений, и составляет элементарную часть евклидовой геометрии. Это разграничение можно уточнить в терминах математической логики. Вместе с тем, соответственно такому пониманию элементарной геометрии, можно говорить об элементарной геометрии n-мерного эвклидова пространства, о элементарной геометрии Лобачевского и др. При этом имеются в виду те разделы, теоремы и выводы этих геометрических теорий, которые характеризуются теми же чертами.
Тема моей работы: «Различные доказательства теорем элементарной геометрии не изучаемых в школе». Она рассматривает «именные теоремы, или теоремы великих ученых. Эта тема интересна тем, что доказывая теоремы школьного курса геометрии мы не всегда знаем, что они основаны на доказательстве какой-либо теоремы, доказанной еще в древние времена.
Рассмотрим доказательства именных теорем, не забывая о великих математиках, доказавших их.
1. Чева Джованни (Ceva Giovanni) (3. 3. 1648, Милан,- 13. 12. 1734, Мантуя) - итальянский инженер и математик. Окончил Пизанский университет. Основные работы по геометрии и механике. Доказал (1678) теорему о соотношении отрезков некоторых прямых, пересекающих треугольник (теорема Чевы). Построил учение о секущих, которое положило начало синтетической геометрии; оно изложено в соч. "О взаимно пересекающихся прямых" ("De line is rectis se inuicem secantibus", Mediolani, 1678).
Теорема. Пусть дан треугольник АВС и три прямые, проходящие через его вершины. Прямая, проходящая через его вершинуА, пересекает прямую ВС в точке А1, прямая, проходящая через вершину В пересекает сторону АС в точке В1, прямая, проходящая через вершину С, пересекает сторону АВ в точке С1. Эти прямые проходят через одну точку тогда и только тогда, когда
Доказательство
Необходимость.
Для случая пересекающихся прямых
Рассмотрим треугольник АВВ1 и прямую СС1, которая его пересекает.
По теореме Менелая
Рассмотрим треугольник СВВ1 и прямую АА1, которая его пересекает.
По теореме Менелая
Разделим первое соотношение на второе
Для случая непересекающихся прямых
По теореме Фалеса запишем пропорции: и
Перемножим пропорции: , значит
Достаточность.
По уже доказанному.
Но тогда, что означает, что А и А’ совпадут ч. т. д.
2. Теоре́ма Менела́я - это классическая теорема аффинной геометрии.
Подобный результат в сферической геометрии упоминается в трактате «Sphaerica» Менелая Александрийского (приблизительно 100-ый год нашей эры) и по-видимому, аналогичный результат на плоскости был уже известен. Эта теорема носит имя Менелая, поскольку более ранних письменных упоминаний об этом результате не сохранилось.
Хотя обоих математиков - древнегреческого и итальянского - разделяют 17 веков, теоремы, названные их именами, обладают двойственностью. Если в любой из них заменить прямую точкой и точку прямой, то теорема Менелая станет теоремой Чевы, и наоборот. Полезны они вот почему: те задачи, которые традиционно решаются довольно сложно с помощью аппарата векторной алгебры, решаются буквально в одну строчку с помощью теорем Менелая и Чевы. Это касается и обратных теорем. Доказательство принадлежности трех точек одной прямой решается очень просто с помощью теоремы, обратной теореме Менелая, доказательство того, что три прямые пересекаются в одной точке, так же легко решается с помощью теоремы, обратной теореме Чевы. Это наиболее важное событие в истории геометрии (открытие этих теорем), оказавшее влияние как на процесс развития математики, так и на развитие техники и смежных областей науки!
Теорема. Пусть на прямых BC, CA, AB, содержащих стороны треугольника ABC, даны соответственно точки A", B", C". Для того, чтобы эти точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство
Доказательство.
Необходимость.
Проведем BKA"B". Из подобия треугольников CA"/A"B=CB"/B"K; BC"/C"A=KB"/B"A. Тогда AB"/B"C*CA"/A"B*BC"/C"A= =AB"/CB"*CB"/KB"*KB"/AB"=1. Если записать тоже самое в векторах, то с учетом направленности вектора получим требуемое равенство.
Достаточность.
Пусть A", B", C" не лежат на одной прямой, но верно равенство (1). Тогда пусть A"B" пересекается с AB в точке C". Тогда верно равенство (1) и для точек A", B", C". Но тогда при записи равенства один, сокращением на AB"/CB"*CA"/BA" (2), получаем, что BC"/AC"=BC"/AC". Если записать все это в векторах, то получится равенство (2) с векторами. Отсюда C"=C", т. е. A", B", C" лежат на одной прямой.
Если точки A",B" и C" лежат соответственно на прямых BC,CA и AB треугольника, то они коллинеарны, тогда и только тогда когда
Проведем через точку С прямую, параллельую прямой AB, и обозначим через K точку пересечения этой прямой с прямой B"C". Поскольку треугольники и подобны (по двум углам), то и, значит -
С тругой стороны, так как подобными являются также и треугольники и, то и, следовательно -
Но в таком случае
Остаётся заметить возможны два расположения точек A",B" и C", либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольник а одна на продолженни, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон, отсюда для отношений направленных отрезков имеем ч. т. д.
Теорема. Если стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС пересекаются в одной и той же точках a, b,c, то между отрезками, определенными таким образом на сторонах, имеем соотношение:
Доказательство.
Чтобы это доказать, проведем через вершины треугольника до пересечения с трансверсалью (трансверсалью называется любая прямая, пересекающая стороны треугольника) три прямые, параллельные какому-нибудь одному и тому же направлению, на которых установим одно и то же положительное направление.
Пусть α, β, γ – расстояния вершин от трансверсали, считая по проведенным параллельным прямым; имеем
Откуда, перемножая, получим:
Если бы трансверсаль была параллельна стороне ВС, то точку а следовало бы рассматривать как лежащую в бесконечности, а отношение как равное 1. Искомое соотношение обратилось бы при этом в, т. е. в теорему о прямой, параллельной какой-либо стороне треугольника. Если бы две стороны АВ и АС треугольника сделались параллельными, то точка А лежала бы в бесконечности; написав выражение в виде, мы заменили бы через 1 и получили бы теорему о прямой, параллельной одной из сторон треугольника.
Обратная теорема. Если не сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС взяты три точки a, b, c, удовлетворяющие соотношению то эти три точки лежат на одной прямой.
Действительно, прямая ab пересекает сторону АВ в некоторой точке c" так, что имеет место равенство:
Это равенство при сравнении его с предыдущим, показывает, что и что, следовательно, точки с и с" совпадают.
Примечание. Эта теорема, в сущности, сводится к теореме о прямой параллельной какой-либо стороне треугольника. Действительно, можно найти такие три отрезка α, δ и γ (заданные по величине и по знаку), что имеют место равенства:
Откуда в силу соотношения следует
Вследствие этого три попарно гомотетичные фигуры, в которых точки А, В и С будут тремя соответвенными точками и α, δ, γ – тремя соответственными отрезками, будут иметь точки a, b, c центрами подобия.
3. Теорема Фейербаха. Доказанная в 1822 году теорема Карла Вильгельма Фейербаха (1800–1834) утверждает, что окружность девяти точек (окружность, проходящая через середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами) касается вписанной окружности треугольника и трёх его вневписанных окружностей. Эта теорема - один из самых красивых фактов элементарной геометрии.
Теорема Фейербаха. Окружность Эйлера касается вписанной и вневписанных окружностей.
Доказательство.
Пусть центр вписанной окружности - I, центр вневписанной окружности, касающейся BC - I", точки их касания с BC - L" и L", середины сторон DABC - A", B", C". GH - отрезок, симметричный отрезку BC относительно AI. Т. к. I, I" лежат на AI, BC - внутренняя касательная к этим 2-м окружностям, то GH тоже внутренняя касательная. Пусть GH∩A"B" - M, GH∩A"C" - N. Пусть GH∩BC=P, тогда P лежат на AI. Т. к. GH симметрична BC, то AG=AC, т. е. AI пересекает GC в середине. A"B", как средняя линия пересекает CG в середине, т. е. AI, A"B", CG пересекаются в одной точке. Назовем ее K. Из св-в вневписанной и вписанной окружностей получаем CL"=BL"; L"L"=AB-AC (обозначим вершины так, чтобы AB>AC). A"L"=(AB-AC)/2=BG/2=A"K(ср. лин.). DA"PK~DAPB, т. е. A"M/A"K=BG/BA; DA"CB"~DACB, т. е. BG/BA=A"K/A"B", т. е. A"M/A"K=A"K/A"B". Отсюда A"M*A"B"=A"K2=A"L"2=A"L"2. Из этого соотношения A"M=(c-b)2/(2c). Т. к. c>b, то A"M
4. Птолемей (Птоломей) Клавдий, знаменитый греческий геометр, астроном и физик; жил в Александрии в первой пол. II в. Главный труд "Великое Собрание", более известный в арабск. переводе под назв. "Альмагест". В геометрии имя П. носит теорема о произведении диагоналей вписанного четырехугольника. В астрономии П. дана теория эпициклов для объяснения видимого движения небесн. светил вокруг неподвижной земли (Птолемеева система). Другие соч: "География", "Harmonicorum libri III" (учение о гармонии) вполне сохранились, и "Оптика" (часть и в арабском переводе; в ней содержится учение об отражении и преломлении света); также 3 книги о музыке, важный источник сведений о древней музыке.
Теорема. Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений противоположных сторон равнялась произведению его диагоналей.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть a=AB; b=BC; c=CD; d=DA; e=AC; f=BD, тогда, пользуясь соотношением Бретшнайдера(В любом четырехугольнике (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C), где e=AC; f=BD; a=AB; b=BC; c=CD; d=DA, ÐBAC=ÐA; ÐBCD=ÐC.), получаем: (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C). Т. к. ABCD вписан в окружность, то ÐA+ÐC=180o, т. е. cos(A+C)=-1, т. е. (ef)2=(ac)2+(bd)2+2abcd. Отсюда (ef)2=(ac+bd)2, т. е. ef=ac+bd.
Достаточность.
ef=ac+bd, т. е. (ef)2=(ac)2+(bd)2+2abcd. По соотношению Бретшнайдера (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C). Отсюда cos(A+C)=-1. Т. к. A+C
Теорема. Сумма произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению их диагоналей.
Проведем СМ так, чтобыМСD=ВАС.
ΔАВС~ΔDМС
ΔАDС~ΔВСМ
Сложим полученные равенства АВ*DC+BC*AD=AC*DM+AC*BM ч. т. д.
5. Блез Паскаль родился в 1623 г. в провинциальном городке. Блез оказался одарённым блестящим умом. В 14 лет он начал посещать математический кружок (из которого впоследствии выросла Французская академия наук), а в 16 - уже написал работу о конических сечениях («теорема Паскаля»), названную коллегами «наиболее сильным и ценным вкладом в математическую науку со дней Архимеда».
Теорема. У вписанного в окружность шестиугольника точки пересечения противоположных (если они есть) лежат на прямой, называемой прямой Паскаля вписанного шестиугольника.
Доказательство.
Пусть наш шестиугольник - AB"CA"BC". Пусть M=(AB")∩(A"B); P=(BC")∩(B"C); N=(CA")∩(C"A); X=(AB")∩(CA"); P=(BC")∩(CA"); N=(CA")∩(BC"). По свойству секущих XA*XB"=XC*XA" (1); YB*YC"=YC*YA" (2); ZB*ZC"=ZA*ZB" (3). По теореме Менелая к DXYZ и к тройкам точек (A; C"; N); (C; B"; P); (B; A"; M) получаем:
После перемножений данных выражений и применения формул (1); (2); (3) получаем, что:
Отсюда по теореме Менелая следует, что M, N, P коллинеарны.
Теорема. Во всяком шестиугольнике, вписанном в окружность, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой.
Доказательство.
Пусть ABCDEF – шестиугольник, противоположные стороны которого AB и DE пересекаются в точке L, стороны BC и EF – в М, стороны CD и FA – в N. рассмотрим треугольник IJK, образованный сторонами AB, CD, EF, другими словами, сторонами данного шестиугольника, взятыми через одну.
Точки L, М, и N расположены соответственно на сторонах JK, KI, IJ этого треугольника. Эти точки лежат на одной прямой, если имеет место соотношение:
Но, если мы пересечем последовательно треугольник IJK каждой из оставшихся сторон DE, BC, FA шестиугольника, мы получим соотношения:
Перемножив почленно эти три равенства, мы можем написать, группируя надлежащим образом множители числителя и знаменателя:
Но каждая из трех последних дробей, которые входят в левую часть, равна 1. Например, произведения CI*DI и EI*FI равны как произведения отрезков, отсеченных окружностью на секущих, выходящих из точки I. Таким образом, получается соотношение и теорема доказана.
Примечание. Предыдущее доказательство остается в силе, если точки A и B, C и D, E и F попарно совпадают и стороны треугольника IJK являются касательными к кругу.
При этом теорема принимает следующую форму: Касательные, проведенные через вершины треугольника, вписанного в круг, пересекают соответствующие стороны в трех точках, лежащих на одной прямой.
6. Жерар Дезарг родился в 1593 году (по другим источникам - в 1591г.). Паскаль называл его старшим свом современником и именно под влиянием работ Дезарга занялся проективной геометрией. В эпоху, когда не существовало еще научных журналов, активность таких математиков как Дезарг находила свое выражение в переписке ученых и деятельности дискуссионных кружков. Он состоял в переписке c Мареном Мерсенном, Декартом, Ферма, Паскалем и многими другими учеными. Из дискуссионных кружков ученых вырастали академии. Свою "теорему Дезарга" о перспективном отображении треугольников он обнародовал в 1648 году. Плодотворность этих идей в полной мере раскрылась лишь в девятнадцатом столетии. Так, Виктора Понселе, ученика Гаспара Монжа, директора Политехнической школы в Париже, в 1813 году привлекла система представлений, которую на два столетия раньше создавал Дезарг. Научные труды Дезарга легли в основу проективной геометрии. Проективно - геометрические идеи Дезарга привлекли интересы ряда ученых.
Теорема. Треугольники А1В1С1 и А2В2С2 расположены на плоскости так, что прямые А1А2, В1В2 и С1С2 имеют общую точку О. Пусть А – точка пересечения прямых В1С1 и В2С2, В – точка пересечения прямых А1С1 и А2С2, С – точка пересечения прямых А1В1 и А2В2. Тогда точки А, В, и С лежат на одной прямой.
Доказательство.
Применим теорему Менелая к треугольнику ОВ1С1 и прямой АВ2С2.
Аналогично для треугольников ОС1А1 и ОА1В1, пересекаемых прямыми ВС2А2 и СА2В2 соответственно.
Перемножив, после сокращений получим
Точки А, В и С лежат на сторонах или продолжениях сторон треугольника А1В1С1 и по теореме Менелая лежат на одной прямой.
Для того, чтобы доказать теорему Дезарга следующим способом надо вспомнить три пространственные аксиомы:
1. Две плоскости определяют одну и только одну прямую; три плоскости, не проходящие через одну прямую, определяют одну и только одну точку.
2. Две пересекающиеся прямые определяют одну и только одну точку и одну и только одну плоскость.
3. Две точки определяют одну и только одну прямую. Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют одну и только одну плоскость.
Эта система аксиом остается неизменной, если обменять местами слова «точка» и «плоскость» (при этом первая аксиома поменяется местами с третьей, а вторая останется неизменной).
Теорема. Пусть даны в пространстве два треугольника АВС и А"B"C". Пусть эти треугольники расположены так, что прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке О. Тогда, во-первых, три пары соответствующих сторон треугольников пересекаются в трех точках R, S, T и, во-вторых, эти три точки лежат на одной прямой.
Доказательство.
Первая часть этой теоремы доказывается весьма просто. Две пересекающиеся прямые АА" и ВВ" определяют согласно второй пространственной аксиоме некоторую плоскость. Но в этой плоскости расположены также прямые АВ и А"В" так, что согласно второй плоскостной аксиоме они пересекаются в некоторой точке R. Остается неопределенным, лежит ли точка R в конечной части пространства или в бесконечности. Существование двух других точек пересечения S и T можно доказать таким же образом.
Вторую часть теоремы легко установить в том случае, когда треугольники расположены в различных плоскостях. Тогда эти плоскости определяют одну – конечную или бесконечно удаленную – прямую пересечения (по первой пространственной аксиоме). Из каждой пары соответствующих сторон треугольника: одна расположена в одной плоскости, другая – в другой. А так как обе стороны пересекаются, то точка их пересечения должна лежать на прямой, принадлежащей обеим плоскостям. Таким образом мы доказали теорему Дезарга для общего случая.
Однако особенно важен как раз тот частный случай, когда оба треугольника лежат в одной плоскости. В этом случае доказательство можно провести при помощи проектирования в пространстве, подобно тому как доказывалась теорема Брианшона. Нам следует только доказать, что всякая плоская дезаргова фигура может быть представлена как проекция некоторой пространственной дезорговой фигуры. Для этой цели соединим все точки и прямые плоской дезарговой фигуры с некоторой точкой S, лежащей вне плоскости фигуры. Далее проведем через прямую АС плоскость; пусть эта плоскость пересекается с прямой ВS в точке В0, отличной от точки S. Затем проведем прямую ОВ0. Эта прямая лежит в одной плоскости с прямой В"S, и таким образом обе прямые пересекаются в точке В0". Но тогда треугольники АВ0С и А"В0"С" образуют пространственную дезаргову фигуру, так как прямые, соединяющие соответствующие вершины, проходят чрез точку О. Линия пересечения плоскостей обоих треугольников изображается при проектировании из точки S в виде прямой на плоскости проекций, причем точки пересечения соответствующих пар сторон рассмотренных первоначально треугольников АВС и А"В"С" должны лежать на этой прямой. Теорема Дезарга доказана полностью.
7. Папп Александрийский греческий геометр. Жил в конце III в. после Рождества Христова, стоял во главе философской школы, о которой, кроме факта ее существования, нет других сведений. Из не дошедших до нас сочинений Паппа известны по имени, а иногда и по некоторым сведениям о содержании: "Замечания" или комментарий на Альмагест Птолемея, комментарий к "Аналемме" Диодора и комментарий к "Элементам" Эвклида. Важнейшим из сочинений Паппа является известное под именем "Собрания" (συναγωγή), излагающее содержание тех математических сочинений, которые особенно ценились современниками.
Теорема. Если на одной прямой взяты точки A1, B1, C1, а на другой - точки A2, B2, C2, то прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 пересекаются в трех коллинеарных точках.
Доказательство.
Пусть прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 пересекаются в точках C, A, B соответственно, а прямые A1B2 и A2C1, B1C2 и B2A1, C1A2 и C2B1 пересекаются в точках A0, B0, C0 соответственно. Теперь применим теорему Менелая к следующим пяти тройкам точек: (A, B2, C1), (B, C2, A1), (C, A2, B1), (A1, B1, C1) и (A2, B2, C2). В результате получим:
После перемножения пяти данных равенств получим, т. е. точки A, B и C коллинеарны.
8. Гаусс Карл Фридрих (1777-1855). С именем К. Ф. Гаусса связаны многие замечательные страницы в истории математики. Он дал доказательство основной теоремы алгебры (всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корень). Гаусс создал теорию поверхностей. До него были изучены геометрии только на двух поверхностях: на плоскости (планиметрия Евклида) и на сфере (сферическая геометрия). Гаусс нашел способ построения геометрии на любой поверхности, определил, какие линии играют на поверхности роль прямых, как мерить расстояния между точками на поверхности и т. д. Теория Гаусса получила название внутренней геометрии. Он не опубликовал своих работ по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций. Эти результаты были открыты заново его младшими современниками: русским математиком Я. И. Лобачевским и венгерским математиком Я. Больяй в первом случае и норвежским математиком Г. X. Абелем и немецким математиком К. Г. Якоби во втором.
Теорема. Для того, чтобы три точки, лежащие на прямых, содержащих стороны треугольника BC, CA, AB (A", B", C" соответственно) были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы середины отрезков AA", BB", CC" были бы коллинеарными.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть M, N, P – середины соответственно AA", BB", CC" соответственно, A", B", C" – середины BC, CA, AB соответственно. По свойству средней линии PAB; MBC; NCA. Также по свойству средних линий имеем: (1).
По теореме Менелая. Пользуясь (1), получаем, что, откуда A", B", C" коллинеарны по теореме Менелая.
Достаточность.
Пусть A", B", C" коллинеарны, тогда по т. Менелая (2). По свойству средних линий имеем: (3). По (2) и (3) получаем, что, т. е. по теореме Менелая A", B", C" коллинеарны.
Изучая данную тему я пришла к заключению, что данные теоремы в основном рассматривают геометрию треугольника. И многие имена остались в истории математики только благодаря этим теоремам. Геометрия треугольника – это основа всей планиметрии. Теоремы сложны в доказательствах и восприятии, но на основе этих теорем доказываются многие теоремы школьного курса планиметрии и решаются практические задачи.
Усвоить содержание теорем (правил, формул, тождеств и т. д.), которые изучаются в школе, не так уж трудно. Для этого необходимо систематически пытаться понять смысл теоремы (правил, формул, тождеств и т. д., как можно чаще применять их при решении задач, при доказательстве других теорем. Такая работа, как показывает практика, приводит к непроизвольному усвоению их содержания, запоминанию их формулировок. Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально запоминать доказательство не нужно, нужно научиться самому доказывать теоремы. Доказательства теорем в учебнике следует рассматривать как образец (эталон) рассуждений при доказательстве какого-либо утверждения.
Что значит доказать теорему, что такое доказательство?
Доказательство в широком смысле — это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений.
Поэтому, когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело — это уже другой вопрос) . В жизни все время, каждодневно в общении с другими людьми, приходится доказывать те или иные мысли, утверждения, приходится убеждать в чем-то, т. е. доказывать.
Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция — выведение), т. е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примерам, к опыту. Мы говорим: «Смотри» — и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим, ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом, не разрешается. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.
Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.
Следовательно, аксиомы служат не только для косвенного определения первичных понятий, но и в качестве оснований для доказательства всех теорем математики. Вот почему в числе аксиом встречаются и такие, которые указывают особые свойства понятий, имеющих логические определения. Так, например, параллельные прямые в курсе геометрии являются не первичным понятием, а определяемым. Однако одно из свойств параллельных прямых, а именно что ч ерез точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной , мы вынуждены принять за аксиому, ибо, как было установлено великим русским геометром Н. И. Лобачевским (1792—1856), а также немецким математиком К. Ф. Гауссом (1777—1855) и венгерским математиком Я. Больяй (1802—1860), доказать это свойство параллельных прямых на основе лишь остальных аксиом геометрии невозможно.
Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:
1) предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом;
2) логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям;
3) логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.
В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать. Покажем процесс доказательства на примере такой теоремы: «Диагонали прямоугольника равны».
В этой теореме нам дан произвольный (любой) прямоугольник, Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим вполне определенный прямоугольник ABCD, но при доказательстве не будем использовать какие-либо частные особенности этого прямоугольника (например, что его сторона АВ примерно в 2 раза больше стороны AD и т. д.). Поэтому наши рассуждения относительно этого определенного прямоугольника будут верны и для любого другого прямоугольника, т. е. они будут иметь общий характер для всех прямоугольников.
Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD. У этих треугольников углы ABC и BAD равны как прямые, катет АВ — общий, а катеты ВС и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда следует, что стороны АС и BD также равны, что и требовалось доказать.
Все доказательство этой теоремы можно изобразить в виде следующей схемы.
| № шага | Посылки (аргументы) | Условия | Следствия |
| 1. | Определение: прямоугольник — это четырехугольугольник, у которого все углы прямые | ABCD - прямоугольник |
A - прямой
B> - прямой. |
| 2. | Теорема: Прямые углы равны. |
A - прямой
B - прямой. |
A = B. |
| 3. | Теорема: Противоположные стороны прямоугольника равны. | ABCD - прямоугольник | BC=AD |
| 4. | Первый признак равенства двух треугольников. | ВС=AD, AB=AB, B = A | ABC= BAD. |
| 5. | Определение равенства треугольников. |
ABC =
BAD,
AC и BD соответственные стороны |
AC=BD. |
Самое трудное в доказательстве — это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам (следствиям) в конечном итоге можно получить нужное следствие — доказываемое положение.
Какими правилами нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Очевидно, что эти правила не могут носить обязательный характер, они лишь указывают возможные пути поиска. Поэтому они называются эвристическими правилами или просто эвристиками (от греческого слова эврика — нахожу, нашел). Многие выдающиеся математики, такие, как Папп (древнегреческий математик, живший в III в.), Блез Паскаль (1623—1662), Рене Декарт (1596—1650), Жак Адамар (1865—1963), Дьердж Пойя (1887) и многие другие, занимались разработкой эвристик для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые эвристические правила, которые полезно помнить:
1. Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме (задаче), их определениями или признаками.
Например, в рассмотренной выше теореме шла речь о прямоугольнике, и мы для доказательства использовали определение прямоугольника.
2. Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности.
Так, например, доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм» — можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон также параллельна.
Так следует поступать всегда, когда есть возможность доказываемое утверждение разбить на несколько частей более простых утверждений.
3. В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям.
Например, нужно доказать такую теорему: «Если некоторая последовательность такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность — арифметическая прогрессия».
Пойдем от условия теоремы. Что нам дано? Дано, что каждый член последовательности, начиная со второго (обозначим его a n , где n ³ 2), есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов, т.
a
n-
1
и
a
n+1
. Значит, верно такое равенство:
(1)
Теперь пойдем от заключения. А что нам нужно доказать? Нужно доказать, что эта последовательность — арифметическая прогрессия. А какая последовательность называется арифметической прогрессией? Вспоминаем определение:
a n = a n-1 + d, где n 2, d — постоянное число. (2)
Сопоставляем данное нам условие (1) с заключением (2). Чтобы условие приняло форму заключения, надо преобразовать так:
2a n = a n-1 + a n+1 , (3)
Отсюда a n — a n-1 = a n+1 — a n . (4)
Левая и правая части (4) обозначают одно и то же, а именно разность между двумя последовательными членами заданной последовательности. Если в равенстве (4) п давать последовательно значения 2, 3 и т. д., то получим: а 2 —a 1 = а 3 — a 2 , затем а 3 - a 2 = a 4 - a 3 и т. д. Следовательно, все эти разности равны между собой, а это значит, что разность а п — а п -1 есть постоянное число, которое можно обозначить буквой, например, буквой d:
а п — а п-1 = d.
Отсюда получаем: a n = a n-1 + d, а это значит, что согласно определению (2) данная последовательность есть арифметическая прогрессия, что нам и надо было доказать.
Эту эвристику можно и так сформулировать: надо стараться сблизить условие и заключение теоремы, преобразуя их или заменяя их следствиями.
Известен и ряд более частных эвристических правил, которые применяются при поиске лишь некоторых теорем. Например, такая эвристика: для того чтобы доказать равенство каких-либо отрезков, надо найти или построить фигуры, соответствующими сторонами которых являются эти отрезки; если фигуры окажутся равными, то будут равны и соответствующие отрезки.
Изучая теоремы, нужно не просто запоминать их доказательство, а каждый раз думать и устанавливать, какими методами они доказываются, какими эвристическими правилами руководствовались при нахождении этих доказательств, как догадались (додумались) до этих доказательств.
В ряде случаев для доказательства теорем используется особый прием, называемый «доказательством от противного» или «приведением к нелепости».
Сущность этого приема заключается в том, что предполагают несправедливость (ложность) заключения данной теоремы и доказывают, что такое предположение приводит к противоречию с условием или с ранее доказанными теоремами или аксиомами. А так как любое утверждение может быть либо верным, либо неверным (ничего другого быть не может), то полученное противоречие показывает, что допущение о ложности заключения теоремы неверно и, следовательно, заключение верно, тем самым теорема доказана.
Приведем пример.
Теорема. Две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой.
Дано: а||с, b||с.
Доказать: а||b.
Докажем эту теорему методом от противного. Допустим, что заключение теомы неверно, т. е. прямая а непараллельна прямой b. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. А так как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с, то получается, что через точку М проведены две прямые а и b, параллельные одной и той же прямой с. А мы знаем по аксиоме параллельности, что через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Пришли к противоречию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение о непараллельности прямых а и b неверно, следовательно, а||b, что и требовалось доказать.
Другой пример.
Теорема. Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше {значит: больше или равно) среднего геометрического этих чисел.
Эту теорему можно так записать:
Где а>0, b>0, (1)
Ее можно доказать как прямым способом, так и способом от противного. Докажем ее способом от противного.
Для этого допустим, что она неверна, т. е. среднее арифметическое меньше среднего геометрического двух положительных чисел: ; (2)
Умножим обе части (2) на 2 и возведем их в квадрат, получим: a 2 + 2ab + b 2 <.4ab или a 2 — 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а — b) 2 < 0.
В результате получили явную нелепость: квадрат некоторого числа (а — b) отрицателен, чего быть не может. Следовательно, предположение о неверности теоремы привело к противоречию, что доказывает справедливость теоремы.
Таким образом, доказательство от противного некоторой теоремы состоит в том, что мы делаем допущение о неверности заключения теоремы. Затем делаем ряд логических умозаключений на основе этого допущения, в результате которых приходим к явно нелепому положению (к противоречию с условием или ранее доказанными теоремами, аксиомами). Далее рассуждаем так: если бы наше предположение было бы верным, то мы могли бы прийти лишь к верному выводу, а так как мы пришли к неверному выводу, то это означает, что наше предположение было ложным, следовательно, тем самым мы убедились, что заключение теоремы верно.
Заметим, что если в результате рассуждений мы не получили бы нелепости (противоречия), то это еще не означало бы, что предположение верно. Иными словами, если исходить из верности (справедливости) заключения теоремы и из этого предположения получить верное (очевидное) следствие, то это еще не значит, что предположение верно: может случиться, что исходная теорема как раз неверна.
На этом построены многие софизмы (умышленно ложно построенные умозаключения, кажущиеся лишь правильными), этим объясняются многие ошибки, допускаемые, при решении задач.
Рассмотрим, например, такое равенство: а — b = b — a (1), где а и b — произвольные числа. Допустим, что (1) верно, тогда возвысим обе части (1) в квадрат, получим:
a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2
Перенеся все члены в одну сторону и сделав приведение подобных, придем к совершенно верному равенству: 0 = 0. Но отсюда нельзя делать вывод, что и исходное равенство (1) верно. Если бы мы такой вывод сделали, то пришли бы к такому софизму: 2а = 2b или а = b, т. е. любые произвольные числа равны между собой. Ошибка состоит в том, что из равенства квадратов двух чисел не следует равенство самих этих чисел. Например, (-2) 2 = 2 2 , но -2 2.
Вот пример ошибочного решения задачи.
Задача. Решить уравнение 3 + x + 2 = 0 (1).
Допустим, что уравнение (1) имеет решение и, следовательно, равенство (1) верно. Тогда получим: З = — х — 2. Возведем обе части равенства в квадрат: 9х = х 2 + 4х + 4 или х 2 —5x + 4 = 0, отсюда x 1 =4, х 2 =1. Можно ли найденные значения х считать корнями уравнения (1)? Некоторые ученики отвечают на этот вопрос утвердительно, ибо ведь все преобразования уравнения верные. И все же ни одно из найденных значений х не является корнем (1). Это подтверждает проверка. Подставляя найденные значения х в (1), получаем явно нелепые равенства: 12 = 0 и 6 = 0.
А как все же решить это уравнение. Заметим, что выражение в левой части уравнения имеет смысл, если x 0. Тогда левая часть уравнения при любых допустимых значениях х принимает только положительные значения и ни как не может быть равной 0, следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Таким образом вы должны учиться доказывать теоремы (формулы, тождества и т. д.), овладевать общими способами поиска доказательства теорем.
По способу связи аргументов от условия к заключению доказательства подразделяются на прямые и косвенные .
Прямое доказательство основано на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы.
Методы прямого доказательства:
– синтетический,
– аналитический,
– метод математической индукции.
Синтетический метод : при построении цепочки силлогизмов мысль движется от условия теоремы к ее заключению.
В учебниках приводятся преимущественно синтетические доказательства. Их преимущества – полнота, сжатость, краткость. Недостатки – отсутствие мотивации шагов, обоснования дополнительных построений; они носят значительно более формальный характер, чем аналитические доказательства.
Пример
Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Дано: АВ и СД – хорды окружности, Е – точка их пересечения.
Доказать: АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. (1)
Доказательство (синтетическое)
Рассмотрим треугольники АДЕ и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВМД, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников DАДЕ ~ DСВЕ. Отсюда следует, что , или АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. Теорема доказана .
Аналитический метод : при поиске доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Преимущества этого метода – есть отправное звено доказательства, дополнительные построения мотивированы, увеличивается творческая активность учащихся. Недостатки – большие потери времени, искусственные дополнительные построения трудно обосновать.
Пример . Теорема о хордах окружности.
Доказательство (аналитическое)
Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что (2).
Для того, чтобы найти пропорцию (2), достаточно доказать подобие треугольников, стороны которых являются членами этой пропорции. Для получения таких треугольников соединяем точки С и В, А и Д.
Чтобы обосновать верность пропорции (2), достаточно доказать, что DАДЕ ~ DСВЕ. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: Ð1 = Ð2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВМД, а Ð3 = Ð4 как вертикальные. Следовательно, теорема верна .
Любое аналитическое доказательство обратимо в синтетическое и наоборот. Это широко используется в учебном процессе. Технологии могут быть таковы:
1) синтетическое доказательство предваряется аналитическими поисками его плана;
2) синтетическое доказательство заменяется аналитическим, в качестве домашнего задания – изучение синтетического доказательства по учебнику;
3) при использовании лекционного метода (преимущественно за пределами курса основной школы) часто используется чисто синтетический метод доказательства.
Метод математической индукции не имеет распространения в геометрии, так как основан на свойствах множества натуральных чисел, выходит за рамки основной школы, поэтому мы не будет подвергать его специальному изучению.
Косвенное доказательство : истинность теоремы устанавливается посредством опровержения некоторых суждений, содержащихся в теореме.
Наиболее распространенный и единственно применимый в курсе планиметрии метод косвенного доказательства – доказательство от противного .
Логико-математическая сущность метода от противного: вместо прямой (р Þ q) доказывается обратная противоположной теорема ().
Поэтому доказательство методом от противного строится по следующей схеме:
1) пусть неверно q, то есть истинно ;
2) докажем, что ложно р, то есть истинно ;
3) убедились, что из ;
4) следовательно, р Þ q (в силу равносильности импликаций р Þ q и ), что и требовалось доказать.
Курс геометрии основной школы широко применяет доказательства от противного, начиная буквально с первых уроков в седьмом классе. При этом необходимо использовать алгоритмический подход.
Алгоритм доказательства от противного .
1. Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее ему утверждение.
2. Вычленяем возможные случаи.
3. Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит:
– условию теоремы,
– ранее установленным математическим фактам.
4. Наличие противоречия заставляет отказаться от принятого заключения.
5. Признаем справедливость заключения доказываемой теоремы.
Мы охарактеризовали основные логические методы доказательства теорем: прямые и косвенные, которые в свою очередь могут быть аналитическими и синтетическими, доказательствами от противного.
Можно говорить об основных математических методах доказательства теорем. В геометрии к ним можно отнести следующие базовые методы:
1) метод геометрических преобразований : эффективен, соответствует современной концепции обучения геометрии в школе, но требует развитого абстрактного и пространственного мышления; методика его использования в школе недостаточно отработана;
2) метод равенства и подобия треугольников – соответствует классической концепции обучения геометрии в школе, известен со времен Евклида, поэтому методика его хорошо разработана; навыки его применения формируются постепенно, в процессе решения задач и доказательства теорем.
Кроме указанных базовых математических методов доказательства теорем планиметрии можно говорить о более частных методах: метод симметрии, метод поворота, векторный метод, алгебраический метод, метод подобия, координатный метод и др.
Методы доказательства, используемые в курсе геометрии основной школы, можно обобщить в виде схемы I.
Тема 13. Теоремы и доказательства
В этой теме Вы ознакомитесь с отличительной особенностью математики по сравнению с физикой и другими науками – признавать только те истины или законы, которые доказаны. В связи с этим будет проанализировано понятие теоремы и рассмотрены некоторые виды теорем и методы их доказательства.
09-13-03. Отличительная особенность математики
Теория
1.1. Если сравнить математику и физику, то обе эти науки используют как наблюдения, так и доказательства. Наряду с экспериментальной физикой существует теоретическая физика, в которой некоторые утверждения, как и теоремы в математике, доказываются на основе физических законов путем последовательного выведения одних суждений из других. Однако физические законы признаются истинными лишь в том случае, когда они подтверждаются большим числом экспериментов. Эти законы со временем могут уточняться.
Математика также использует наблюдения.
Пример 1. Наблюдая, что
можно сделать предположение, что сумма первых тысячи нечетных натуральных чисел равна 1000000.
Это утверждение можно проверить, непосредственными вычислениями, затратив огромное количество времени.
Можно сделать также общее предположение, что для любого натурального числа сумма начальных нечетных чисел равна . Это утверждение непосредственными вычислениями проверить нельзя, потому что множество всех натуральных чисел бесконечно. Тем не менее сделанное предположение верно, потому что его можно доказать.
Пример 2. Мы можем измерить углы многих треугольников..gif" height="20">, является верным, если мы принимаем за аксиому пятый постулат Евклида. Это было доказано в 7 классе .
Пример 3. Подставляя в многочлен
вместо натуральные числа от 1 до 10, мы получим простые числа 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Можно высказать предположение, что при любом натуральном значение квадратного трехчлена является простым числом. Проверка показала, что это действительно так при любом натуральном от 1 до 39. Однако, при предположение неверно, так как получается составное число:
Использование доказательств, а не наблюдений для установления истинности теорем является отличительной особенностью математики.
Заключение, сделанное на основе даже многочисленных наблюдений, считается математическим законом лишь тогда, когда оно доказано .
1.2. Ограничимся интуитивным понятием доказательства, как последовательного выведения одних суждений из других, не проводя точного анализа понятия выведения или вывода. Детальнее проанализируем понятие теоремы.
Теоремой принято называть утверждение, истинность которого устанавливается путем доказательства. Понятие теоремы развивалось и уточнялось вместе с понятием доказательства.
В классическом смысле под теоремой понимают высказывание, которое доказывается путем выведения одних суждений из других. При этом должны быть выбраны некоторые начальные законы или аксиомы , которые принимаются без доказательства.
Впервые система аксиом в геометрии была построена древнегреческим математиком Евклидом в его знаменитом труде Начала. Вслед за аксиомами в Началах Евклида излагаются теоремы и задачи на построение под общим названием предложения. Теоремы расположены в строгой последовательности.
Каждая теорема сначала формулируется, затем указывается, что дано и что требуется доказать. Потом излагается доказательство со всеми ссылками на ранее доказанные предложения и аксиомы. Иногда доказательство заканчивается словами что и требовалось доказать. Переведенные на все европейские языки Начала Евклида, включающие 13 книг, оставались до 18 века единственным учебным пособием , по которому изучали геометрию в школах и университетах.
1.3. Чтобы было легче выделить, что дано и что требуется доказать, теоремы формулируются в виде если..., то.... Первая часть формулировки теоремы между если и то называется условием теоремы, а вторая часть, которая записывается после то, называется заключением теоремы.
Условие теоремы содержит описание того, что дано, а заключение – что требуется доказать.
Иногда такую запись теоремы называют логической формой теоремы, а сокращенно называют формой если - то.
Пример 4. Рассмотрим следующую теорему.
Если - четное натуральное число, то является нечетным числом.
В этой теореме условие состоит в том, что берется любое четное число ..gif" width="32 height=19" height="19"> нечетно.
Часто условие и заключение записываются при помощи других слов.
Пример 5. Теорему из примера 1 можно записать в следующей форме:
Пусть - четное натуральное число. Тогда является нечетным числом.
В этом случае вместо слова если используют слово пусть, а вместо слова то пишут слово тогда.
Пример 6. Теорему из примера 1 можно записать также в следующей форме:
Из того, что четное натуральное число, следует, что число .gif" width="13" height="15"> влечет нечетность числа .
В этом случае слово если опускается, а вместо слова то используется слово влечет.
Иногда употребляют и другие виды записи теорем.
1.4. В некоторых случаях условие теоремы в ее формулировке не записывают. Это происходит тогда, когда из текста ясно, какой вид может иметь это условие.
Пример 8. Вы знаете теорему: медианы треугольника пересекаются в одной точке.
В логической форме эта теорема может быть записана так:
Если в любом треугольнике провести все медианы, то эти медианы пересекутся в одной точке.
Пример 9. Теорема о бесконечности множества простых чисел может быть записана в виде:
Если - множество всех простых чисел, то оно бесконечно.
Для установления связей между теоремами в математике используют особый язык, который частично будет рассмотрен в последующих параграфах данной главы.
Контрольные вопросы
1. Какие примеры наблюдений в математике Вам известны?
2. Какие аксиомы геометрии Вы знаете?
3. Какую запись теоремы называют логической формой теоремы?
4. Что называется условием теоремы?
5. Что называется заключением теоремы?
6. Какие формы записи теорем Вы знаете?
Задачи и упражнения
1. Какие предположения Вы можете сделать, наблюдая:
а) произведения двух соседних натуральных чисел;
б) суммы двух соседних натуральных чисел;
в) суммы трех последовательных натуральных чисел;
г) суммы трех нечетных чисел;
д) последние цифры в десятичной записи чисел .gif" width="13 height=15" height="15">;
е) число частей, на которые плоскость разбивается различными прямыми, проходящими через одну точку;
ж) число частей, на которые плоскость разбивается различными прямыми, из которых прямых попарно параллельны и пересекают .gif" width="13" height="20">.gif" height="20"> числа вида , где - натуральное число;
г) суммы двух иррациональных чисел?
3. Какое предположение Вы можете сделать, наблюдая центры окружностей, описанных около тупоугольных треугольников?
4. Запишите в логической форме теорему:
а) сумма внутренних углов выпуклого https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
б) любые два прямоугольных равнобедренных треугольника подобны;
в) равенство выполняется для любых целых чисел и ;
г) высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, делит пополам угол при вершине этого треугольника;
д) для любых неотрицательных чисел и выполняется неравенство ;
е) сумма двух противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна 180;
ж) число не является рациональны числом;
з) все простые числа, которые больше 10, нечетны;
и) у квадрата диагонали равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам;
к) из всех четырехугольников, вписанных в заданную окружность, квадрат имеет наибольшую площадь;
л) существует четное простое число;
м) ни одно простое число не может быть представлено в виде суммы двух различных нечетных натуральных чисел;
н) сумма кубов первых натуральных чисел является квадратом некоторого натурального числа.
5.* Каждую из теорем, приведенных в предыдущей задаче, запишите в нескольких различных видах.
Ответы и указания
Задача 1. Какие предположения вы можете сделать, наблюдая:
а) произведения двух соседних натуральных чисел;
б) суммы двух соседних натуральных чисел;
в) суммы трех последовательных натуральных чисел;
г) суммы трех нечетных чисел;
д) последние цифры в десятичной записи чисел при натуральных ;
е) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> число частей, на которые плоскость разбивается https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> прямых попарно параллельны и пересекают .gif" width="13 height=20" height="20"> число частей, на которые плоскость разбивается https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> могут получаться только четыре цифры:
0, 1, 5, 6; е)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" width="13" height="15">-угольника равна ;
б) любые два прямоугольных равнобедренных треугольника подобны;
в) равенство выполняется для любых целых чисел и ;
