Для того чтобы сгладить дискретные функции Альтмана, и тем самым внести в теорию идею непрерывности, применялось среднеквадратичное интегральное приближение многочленом разных степеней.
Известно, что последовательность интерполяционных многочленов по равноотстоящим узлам не обязательно сходится к функции, если даже функция бесконечно дифференцируема. Для приближаемой функций с помощью подходящего расположения узлов удаётся снизить степень полинома. . Структура функций Альтмана такова, что удобнее использовать приближение функции не с помощью интерполяции, а с построением наилучшего среднеквадратичного приближения в нормированном линейном пространстве. Рассмотрим основные понятия и сведения при построении наилучшего приближения . Задачи приближения и оптимизации ставятся в линейных нормированных пространствах.
Метрические и линейные нормированные пространства
К наиболее широким понятиям математики относятся "множество" и "отображение". Понятие "множество", "набор", "совокупность", "семейство", "система", "класс" в нестрогой теории множеств считаются синонимами.
Термин "оператор" тождествен термину "отображение". Термины "операция", "функция", "функционал", "мера" - частные случаи понятия "отображение" .
Термины "структура", "пространство" при аксиоматическом построении математических теорий также приобрёл в настоящее время основополагающую значимость. К математическим структурам принадлежат теоретико-множественные структуры (упорядоченные и частично упорядоченные множества); абстрактно-алгебраические структуры (полугруппы, группы, кольца, тела, поля, алгебры, решетки); дифференциальные структуры (внешние дифференциальные формы, расслоенные пространства) , , , , , , .
Под структурой понимается конечный набор, состоящий из множеств носителя (основное множество), числового поля (вспомогательное множество) и отображение, заданных на элементах носителя и числах поля. Если в качестве носителя взято множество комплексных чисел, то оно играет роль и основного, и вспомогательного множества. Термин "структура" тождественен понятию "пространство" .
Чтобы задать пространство, необходимо прежде всего задать множество-носителя со своими элементами (точками), обозначаемых латинскими и греческими буквами
В качестве носителя могут выступать множества элементов действительных (или комплексных): чисел; векторов, ; Матриц, ; Последовательностей, ; Функций;
В качестве элементов носителя могут выступать также множества: действительной оси, плоскости, трёхмерного (и многомерного) пространства, перестановки, движения; абстрактные множества.
Определение. Метрическое пространство есть структура, образующая тройку, где отображение есть неотрицательная действительная функция двух аргументов для любых x и y из M и удовлетворяющая трём аксиомам.
- 1-- неотрицательность; , при.
- 2- - симметричность;
- 3- - аксиома рефлексивности.
где - это расстояния между элементами.
В метрическом пространстве задаётся метрика и формируется понятие о близости двух элементов из множества носителя.
Определение. Действительное линейное (векторное) пространство есть структура, где отображение - аддитивная операция сложения элементов, принадлежащих, а отображение - операция умножения числа на элемент из.
Операция означает, что для любых двух элементов однозначно определен третий элемент, называемый их суммой и обозначаемый через, причем выполняются следующие аксиомы.
Коммутативное свойство.
Ассоциативное свойство.
В существует особый элемент, обозначаемый через такой, что для любого выполняется.
для любого существует, такой, что.
Элемент называется противоположным к и обозначается через.
Операция означает, что для любого элемента и любого числа определен элемент, обозначаемый через и выполняется аксиомы:
Элемент (точки) линейных пространства называется также векторами. Аксиомами 1 - 4 задаётся группа (аддитивная), называемая модулем и представляющая собой структуру.
Если операция в структуре не подчиняется никакими аксиомам, то такую структуру называют группоидом. Эта структура предельно бедна; в ней нет ни одной аксиоме ассоциативности, то структура называется моноидом (полугруппа).
В структуре с помощью отображения и аксиомами 1-8 задаётся свойство линейности.
Итак, линейное пространство является групповым модулем, в структуру которого добавлена еще одна операция - умножения элементов носителя на число с 4 аксиомами. Если вместо операции задать наряду с еще одну групповую операцию умножения элементов с 4 аксиомами и постулировать аксиому дистрибутивности, то возникает структуру, называемая полем.
Определение. Линейное нормированное пространство есть структура, в которой отображение удовлетворяет следующие аксиомами:
- 1. причём тогда и только тогда, когда.
- 2. , .
- 3. , .
И так в всего 11 аксиом.
Например, если в структуру поля вещественных чисел, где - действительные числа, добавить модуль, обладающий всеми тремя свойствами нормы, то поле вещественных чисел становится нормированным пространством
Распространены два способа введения нормы: либо путём явного задания интервального вида однородно-выпуклого функционала , , либо путём задания скалярного произведение , .
Пусть, тогда вид функционала можно задать бесчисленным количеством способов, меняя величину:
- 1. , .
- 2. , .
………………..
…………….
Второй распространённый способ приём задания состоит в том, что в структуру пространства вводится ещё одного отображение (функция двух аргументов, обычно обозначаемое через и называемое скалярным произведением).
Определение. Евклидово пространство есть структура в которой скалярное произведение содержит норму и удовлетворяет аксиомам:
- 4. , причём тогда и только тогда, когда
В евклидовом пространстве норма порождается формулой
Из свойств 1 - 4 скалярного произведения следует, что выполняются все аксиомы нормы. Если скалярное произведение в виде, то норма будет вычисляться по формуле
Норму пространства невозможно задать с помощью скалярного произведения , .
В пространствах со скалярным произведением появляются такие качества, которые отсутствуют в линейных нормированных пространствах (ортогональность элементов, равенство параллелограмма, теорема Пифагора, тожество Аполлония, неравенство Птолемея . Введение скалярного произведения даёт способы более эффективного решения задач аппроксимации.
Определение. Бесконечная последовательность элементов в линейном нормированном пространстве называется сходящейся по норме (просто сходящейся или имеющей предел в), если существует такой элемент, что для любого найдется номер, зависящий от такой, что при выполняется
Определение. Последовательность элементов в называется фундаментальной, если для любого существует номер, зависящий от, что любого и выполняются (Треногин Колмогоров, Канторович, с 48)
Определение. Банаховым пространством называется такая структура, в которой любая фундаментальная последовательность сходится по норме.
Определение. Гильбертовым пространством называется такая структура в которой любая фундаментальная последовательность сходится по норме, порождённой скалярным произведением.
На днях нужно было написать программу, вычисляющую среднеквадратичное приближение функции, заданной таблично, по степенному базису - методом наименьших квадратов. Сразу оговорюсь, что тригонометрический базис я не рассматривал и в этой статье его брать не буду. В конце статьи можно найти исходник программы на C#.
Теория
Пусть значения приближаемой функции f(x) заданы в N+1 узлах f(x 0), ..., f(x N) . Аппроксимирующую функцию будем выбирать из некоторого параметрического семейства F(x, c) , где c = (c 0 , ..., c n) T - вектор параметров, N > n .Принципиальным отличием задачи среднеквадратичного приближения от задачи интерполяции является то, что число узлов превышает число параметров. В данном случае практически всегда не найдется такого вектора параметров, для которого значения аппроксимирующей функции совпадали бы со значениями аппроксимируемой функции во всех узлах.
В этом случае задача аппроксимации ставится как задача поиска такого вектора параметров c = (c 0 , ..., c n) T , при котором значения аппроксимирующей функции как можно меньше отклонялись бы от значений аппроксимируемой функции F(x, c) в совокупности всех узлов.
Графически задачу можно представить так
Запишем критерий среднеквадратичного приближения для метода наименьших квадратов:
J(c) = √ (Σ i=0 N 2) →min
Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию относительно коэффициентов аппроксимирующего многочлена. Она непрерывна и дифференцируема по c 0 , ..., c n . Очевидно, что ее минимум находится в точке, где все частные производные равны нулю. Приравнивая к нулю частные производные, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных (искомых) коэффициентов многочлена наилучшего приближения.
Метод наименьших квадратов может быть применен для различных параметрических функций, но часто в инженерной практике в качестве аппроксимирующей функции используются многочлены по какому-либо линейно независимому базису {φ k
(x), k=0,...,n
}:
F(x, c)
= Σ k=0 n [c k φ k
(x)
]
.
В этом случае система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов будет иметь вполне определенный вид:
…
Чтобы эта система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А (определитель Грама) был отличен от нуля. Для того, чтобы система имела единственное решение необходимо и достаточно чтобы система базисных функций φ k (x), k=0,...,n была линейно независимой на множестве узлов аппроксимации.
В этой статье рассматривается среднеквадратичное приближение многочленами по степенному базису {φ k (x) = x k , k=0,...,n }.
Пример
А теперь перейдем к примеру. Требуется вывести эмпирическую формулу для приведенной табличной зависимости f(х), используя метод наименьших квадратов.| x | 0,75 | 1,50 | 2,25 | 3,00 | 3,75 |
| y | 2,50 | 1,20 | 1,12 | 2,25 | 4,28 |
Примем в качестве аппроксимирующей функцию
y = F(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 , то есть, n=2, N=4
Система уравнений для определения коэффициентов:
a 00 c 0 + a 01 c 1 +… + a 0n c n = b 0
a 10 c 0 + a 11 c 1 +… + a 1n c n = b 1
…
a n0 c 0 + a n1 c 1 +… + a nn c n = b n
a kj = Σ i=0 N [φ k (x i)φ j (x i) ], b j = Σ i=0 N
Коэффициенты вычисляются по формулам:
a 00 = N + 1 = 5, a 01 = Σ i=0 N x i = 11,25, a 02 = Σ i=0 N x i 2 = 30,94
a 10 = Σ i=0 N x i = 11,25, a 11 = Σ i=0 N x i 2 = 30,94, a 12 = Σ i=0 N x i 3 = 94,92
a 20 = Σ i=0 N x i 2 = 30,94, a 21 = Σ i=0 N x i 3 = 94,92, a 22 = Σ i=0 N x i 4 = 303,76
b 0 = Σ i=0 N y i = 11,25, b 1 = Σ i=0 N x i y i = 29, b 2 = Σ i=0 N x i 2 y i = 90,21
Решаем систему уравнений и получаем такие значения коэффициентов:
c 0 = 4,822, c 1 = -3,882, c 2 = 0,999
Таким образом
y = 4,8 - 3,9x + x 2
График получившейся функции
Релизация на C#
А теперь перейдем к тому, как написать код, который бы строил такую матрицу. А тут, оказывается, все совсем просто:private double[,] MakeSystem(double[,] xyTable, int basis) { double[,] matrix = new double; for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { matrix = 0; } } for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { double sumA = 0, sumB = 0; for (int k = 0; k < xyTable.Length / 2; k++) { sumA += Math.Pow(xyTable, i) * Math.Pow(xyTable, j); sumB += xyTable * Math.Pow(xyTable, i); } matrix = sumA; matrix = sumB; } } return matrix; }
На входе функция получает таблицу значений функций - матрицу, в первом столбце которой содержатся значения x, во втором, соответственно, y, а также значение степенного базиса.
Сначала выделяется память под матрицу, в которую будут записаны коэффициенты для решения системы линейных уравнений. Затем, собственно, составляем матрицу - в sumA записываются значения коэффициентов aij, в sumB - bi, все по формуле, указанной выше в теоретической части.
Для решения составленной системы линейных алгебраических уравнений в моей программе используется метод Гаусса. Архив с проектом можно скачать
Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.
Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"
Подобные документы
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.
курсовая работа , добавлен 14.04.2009
Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное (численное) решение математических задач. Два вида погрешностей, возникающих при решении задач. Нахождение нулей функции. Метод половинного деления. Метод хорд.
курс лекций , добавлен 06.03.2009
Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad.
курсовая работа , добавлен 11.03.2013
Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.
курсовая работа , добавлен 27.04.2011
Методы оценки погрешности интерполирования. Интерполирование алгебраическими многочленами. Построение алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
лабораторная работа , добавлен 14.08.2010
Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа , добавлен 16.12.2015
Численные методы поиска безусловного экстремума. Задачи безусловной минимизации. Расчет минимума функции методом покоординатного спуска. Решение задач линейного программирования графическим и симплексным методом. Работа с программой MathCAD.
курсовая работа , добавлен 30.04.2011
В предыдущей главе подробно рассмотрен один из самых распространенных способов приближения функций – интерполирование. Но этот способ не единственный. При решении разнообразных прикладных задач и построении вычислительных схем нередко используют и другие способы. В этой главе мы рассмотрим способы получения среднеквадратических приближений. Название приближений связано с метрическими пространствами, в которых рассматривается задача приближения функции. В главе 1 мы ввели понятия «метрическое линейное нормированное пространство» и «метрическое евклидово пространство» и увидели, что погрешность приближения определяется метрикой пространства, в котором рассматривается задача приближения. В разных пространствах понятие погрешности имеет разный смысл. Рассматривая погрешность интерполяции, мы не акцентировали на этом внимание. А в этой главе нам придется этим вопросом заняться более подробно.
5.1. Приближения тригонометрическими многочленами и многочленами Лежандра Пространство l2
Рассмотрим
множество функций
,
интегрируемых с квадратом по Лебегу на
отрезке
,
то есть таких, что должен существовать
интеграл
.
Поскольку
выполняется очевидное неравенство
,
из интегрируемости с квадратом функций
и
должна
следовать и интегрируемость с квадратом
любой их линейной комбинации
,
(где
и
любые вещественные числа), а также
интегрируемость произведения
.
Введем
на множестве функций, интегрируемых с
квадратом по Лебегу на отрезке
,
операцию скалярного произведения
.
(5.1.1)
Из свойств интеграла следует, что введенная операция скалярного произведения обладает почти всеми свойствами скалярного произведения в евклидовом пространстве (см. параграф 1.10, с. 57):
Только первое свойство выполняется не до конца, то есть не будет выполнено условие.
В
самом деле, если
,
то отсюда не следует, что
на отрезке
.
Для того чтобы введенная операция
обладала этим свойством, в дальнейшем
договоримся не различать (считать
эквивалентными) функции
и
,
для которых
.
С
учетом последнего замечания, мы
убедились, что множество интегрируемых
с квадратом по Лебегу функций (точнее
множество классов эквивалентных функций)
образует евклидово пространство, в
котором определена операция скалярного
произведения по формуле (5.1.1). Это
пространство называют пространством
Лебега и обозначают
или короче
.
Поскольку
всякое евклидово пространство
автоматически является и нормированным
и метрическим, пространство
также является
нормированным, и метрическим пространством.
Норма (величина элемента) и метрика
(расстояние между элементами) в нем
обычно вводятся стандартным способом:
(5.1.2)
(5.1.3)
Свойства (аксиомы)
нормы и метрики приведены в параграфе
1.10. Элементами пространства
являются не
функции, а классы эквивалентных функций.
Функции, принадлежащие одному классу,
могут иметь разные значения на любом
конечном или даже счетном подмножестве
.
Поэтому приближения в пространстве
определяются неоднозначно. Эта неприятная
особенность пространства
окупается удобствами использования
скалярного произведения.
3. Среднеквадратическое приближение функции
3.1 Постановка задачи
Разработать схему алгоритма и написать программу на языке Turbo Pascal 7.0 для выполнения среднеквадратического приближения функции, заданной в узлах.
3.2 Математическая формулировка задачи
Пусть имеется множество функций , принадлежащих линейному пространству функций. Под близостью в среднем интерполируемой и интерполирующей функций будем понимать результат оценки интеграла
, (3.1)
где - весовая функция.
Такое приближение называют среднеквадратичным.
3.3 Обзор существующих численных методов решения задачи
Задача среднеквадратичного приближения возникает во многих областях прикладных исследований, например, при статистической обработке данных эксперимента с использованием регрессивного анализа, при оценивании параметров моделей, в задачах фильтрации и т.п.
Когда уровень неопределенности в задании приближаемой функции f(x i), i=1..m, достаточно велик, что характерно для обработки экспериментальных данных, бессмысленно требовать выполнения условий интерполирования; кроме того, число точек задания функции f(x i) часто весьма велико. Все это делает применение интерполирования мало перспективным по причинам плохой обусловленности задачи высокой размерности и проблем сходимости процесса интерполяции
Одной из наиболее простых и, поэтому, широко используемых приближающих функций является алгебраический полином
Метод среднеквадратичного приближения обеспечивает построение полинома Pn(x), исходя из минимизации величины
Рассмотренный метод приближения минимизирует среднеквадратичное уклонение аппроксимирующего полинома от аппроксимируемой функции, но не гарантирует от значительных локальных ошибок. Для предотвращения подобной возможности используют полиномы наилучшего равномерного приближения.
в пространстве параметров a 0 , a 1 ,...,a n. Существуют различные подходы к решению задачи минимизации функции D(a). Простейший из них приводит к необходимости решения нормальной системы линейных алгебраических уравнений
Однако, уже при n > 5 матрица такой системы оказывается настолько плохо обусловленной, что полученные из (3.4) значения a j оказываются мало пригодными для вычисления P n (x). Поэтому, при необходимости построения полиномов наилучшего среднеквадратичного приближения более высоких степеней применяют другие алгоритмы, например, метод сингулярного разложения.
3.4 Численный метод решения задачи
Можно рассмотреть две задачи:
1 - подобрать функцию так, чтобы выполнялось неравенство
2 - найти наилучшее приближение, т.е. такую функцию , чтобы было справедливым соотношение
. (3.6)
Разложим функцию по системе линейно независимых функций :
. (3.7)
В дальнейшем для сокращения записи будем пользоваться определением скалярного произведения в пространстве функций :
.
Подставляя (3.7) в условие (3.6), получим
Дифференцируя это выражение по и приравнивая производные нулю, получим
. (3.8)
Определитель этой системы есть определитель Грама функций . В силу их линейной независимости этот определитель не равен нулю. Следовательно, из системы (3.8) можно найти коэффициенты , определяющие функцию согласно (3.6) и минимизирующие интеграл от погрешности 
. Таким образом, наилучшее среднеквадратичное приближение существует и оно единственно.
При использовании ортонормированной системы функций система (3.8) упрощается:
,
т.е. являются коэффициентами Фурье, а наилучшее приближение есть ряд Фурье, обрываемый на каком-то члене.
Доказано, что в любом линейно нормированном пространстве при линейной аппроксимации вида (3.4) наилучшее приближение существует, хотя оно может быть не единственным.
В тех случаях, когда функции не ортогональны, при определитель Грама уменьшается, приближаясь к нулю. Тогда система становится плохо обусловленной и ее решение дает большую погрешность. В этой ситуации обычно берут не более пяти-шести членов в сумме (3.7).
В качестве чаще всего используют полиномы Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, ортогональные с заданным весом.
Рассмотрим частный случай, когда необходимо найти наилучшее приближение функции, заданной таблично. Для вещественных функций, заданных на конечном множестве точек, скалярное произведение определяется формулой
, (3.9)
где - число заданных узлов.
Условие наилучшего среднеквадратичного приближения записывается следующим образом:
. (3.10)
Полагая , где , и подставляя этот многочлен в (3.10), придем к системе (3.8), в которой скалярные произведения вычисляют согласно (3.9). Описанная процедура аппроксимации носит название метода наименьших квадратов.
Наиболее употребительный вариант метода наименьших квадратов соответствует случаю степенного вида функций , т.е. 
, причем .
Система уравнений (3.8) при этом принимает вид
, , (3.11)
Сформировать более высокий уровень абстракции и обобщения, чем тот, на который ориентировалось традиционное преподавание». Следовательно, традиционные формы обучения не в состоянии поднять математическое мышление младших школьников на более высокий уровень. Как же решает эту проблему нетрадиционное обучение? Какие свойства математического мышления развивает решение нестандартных задач? Во- ...
сети, построенной на основе различных топологий. Программное обеспечение прикладных систем, предназначенных для профессиональной деятельности руководителя, включает: · системные программные средства; · базовые пакеты прикладных программ; · средства сетевой поддержки компьютеров в локальных и глобальных сетях; · системы прикладного программирования; · тестовые программные средства. ...
