Теория массового обслуживания. Смо с отказами определения и формулы

Абсолютная пропускная способность характеризует интенсивность выходящего потока обслуженных заявок.

Пример . На станцию технического обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью 1 автомобиль за 2 ч. Во дворе в очереди может находиться не более 3 машин. Среднее время ремонта - 2 часа. Дайте оценку работы СМО и разработайте рекомендации по улучшению обслуживания.

Решение:
Определяем тип СМО. Фраза « На станцию» говорит об единственном устройстве обслуживания, т.е. для проверки решения используем сервис Одноканальные СМО .
Определяем вид одноканальной СМО. Поскольку имеется упоминание об очереди, следовательно выбираем «Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди».
Параметр λ необходимо выразить в часах. Интенсивность заявок 1 автомобиль за 2 ч или 0,5 за 1 час.
Интенсивность потока обслуживания μ явно не задана. Здесь приводится время обслуживания t обс = 2 часа.

Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки .
ρ = λ t обс = 0.5 2 = 1
Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).

Следовательно, 20% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 12 мин.

4. Доля заявок, получивших отказ .
Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки, p отк = 0.

5. Относительная пропускная способность .
Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени:
Q = 1 - p отк = 1 - 0 = 1
Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

6. Абсолютная пропускная способность .
A = Q λ = 1 0.5 = 0.5 заявок/час.

8. Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди).

ед.

9. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
час.

10. Среднее число обслуживаемых заявок .
L обс = ρ Q = 1 1 = 1 ед.

12. Среднее число заявок в системе .
L CMO = L оч + L обс = 1.2 + 1 = 2.2 ед.

13. Среднее время пребывания заявки в СМО .
час.

Число заявок, получивших отказ в течение час: λ p 1 = 0 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 1 / 2 = 0.5 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 0.5 / 0.5 = 100% от номинальной производительности.

Вывод: станция загружена на 100%. При этом отказов не наблюдается.

Дано : система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.

Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S 0 – канал свободен; S 1 – канал занят. Переход из S 0 в S 1 связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход из S 1 в S 0 осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.9).

Рис.9. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.

(среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками - ); – интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания ).

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

Очевидны следующие соотношения: и .

N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга). Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.

Дано : в системе имеется n – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t , получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).

Решение . Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

· S 0 – в СМО нет ни одной заявки;

· S 1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

· S 2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

· S n – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рис. 10.

Рис.10. Граф состояний для n – канальной СМО с отказами

Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S 0 в состояние S 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью (как только приходит заявка, система переходит из S 0 в S 1). Если система находилась в состоянии S 1 и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояние S 2 и т.д.

Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть система находится в состоянии S 1 (работает один канал). Он производит обслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S 1 в состояние S 0 нагружена интенсивностью . Пусть теперь система находится в состоянии S 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти в S 1 , нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равна и т.д.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.

Абсолютная пропускная способность :

где n – количество каналов СМО; – вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S 0);

Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.11.

Рис.11. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»

Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для схемы «гибели и размножения». Напишем сначала для общую формулу (без доказательства):

Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S 1 , когда один канал занят.

На станцию технического обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью 1 автомобиль за 2 ч. Во дворе в очереди может находиться не более 3 машин. Среднее время ремонта - 2 часа. Дайте оценку работы СМО и разработайте рекомендации по улучшению обслуживания.

Решение:
Определяем тип СМО. Фраза «На станцию» говорит об единственном устройстве обслуживания, т.е. для решения используем формулы для одноканальной СМО.
Определяем вид одноканальной СМО. Поскольку имеется упоминание об очереди, следовательно выбираем «Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди».
Параметр λ необходимо выразить в часах. Интенсивность заявок 1 автомобиль за 2 ч или 0,5 за 1 час.

Интенсивность потока обслуживания μ явно не задана. Здесь приводится время обслуживания t обс = 2 часа.

Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:

Интенсивность потока обслуживания:

Интенсивность нагрузки .

ρ = λ t обс = 0.5 2 = 1

Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).

Следовательно, 20% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 12 мин.